高中数学-打印版
圆锥曲线消元的方法和技巧
山东 穆守伏
与圆锥曲线有关的问题一般都需要通过大量的甚至是繁复的运算，掌握一些消元的技巧和方法，对于成功解题有很大帮助．
一、设而不求巧替换
y2例1 给定双曲线x－＝1，过点A(2，1)的直线l与所给双曲线交于P1、P2两点，
22求线段P1P2中点P的轨迹方程．
解：设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P(x，y)，又点P是线段P1P2中点，则有
y12y222x1－＝1，x2－＝1，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y．
22222xy2?y1y22?y12y2?y1x2?x12x∴＝·2＝·＝．
y22y12y2?y12yx2?x1x2?x12y（1+）?（1+）222又kAP＝
y?y1y?1，而kAP＝kP1P2＝2，
x2?x1x?2∴
2xy?1＝， yx?22即所求点P的轨迹方程为2x2－y－4x＋y＝0．
点评：与弦的中点有关的两种类型：⑴已知斜率求平行弦的中点的轨迹方程；⑵过某定
点做圆锥曲线的割线，求截得弦的中点的轨迹方程．它们都可以采用点差法（设而不求，两式相减）来求解．
二、整体意识妙构思
例2 如图，在直角坐标系内，已知矩形OABC的边长OA＝a，OC＝b，若点D在AO的延长线上，且|OD|＝a．设M、N分别是OC、BC边上的动点，使得OM:MC＝BN:NC≠0，求直线DM与AN交点P的轨迹方程．
解：设点P(x，y)，令OM:MC＝BN:NC＝λ≠0，
可求出点M (0，
λba)，N(，b)． 1?λ1?λλby＝； (1?λ)ax?a由D、M、P三点共线，kPD＝kMD，故由A、P、N三点共线，kPA＝kNA，故
(1?λ)by＝．
?λax?ay2x2以上两式相乘，消去参数λ，得所求轨迹方程为2＋2＝1（x＞0，y＞0）．
ba点评：求轨迹方程消去参数时，不一定使用加减消元法，也可以使用“乘除”消元法．故
精心校对
高中数学-打印版
解答数学题不要拘泥于“成法”，要从整体上观察分析，然后采取适当的策略．
三、技能积累能开窍
例3 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y＝x＋1与该椭圆相交于两点P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|＝10，求椭圆的方程． 2y2x2解：设椭圆方程为2＋2＝1，将直线方程y＝x＋1代入，消去y整理得
ba(a2＋b2)x2＋2a2 x＋a2 －a2 b2＝0．
由OP⊥OQ，即x1x2＋y1y2＝0，整理得 2x1x2＋(x1＋x2)＋1＝0；
10105，即2|x1－x2|＝，整理得 (x1＋x2) 2－4x1x2＝． 224以上两式是关于x1＋x2，x1x2的二元一次方程组，解之得
由|PQ|＝?2a2?32a2131????????x?x??x?x????22??a2?b2?1?1222，或?2，即?a2?b2，或 ?2???2222211?a?ab?1 ?a?ab??1 ?xx? ?xx?? 1212????44??44?a2?b2?a2?b2?a2?2 ?22??a?解之得?22，或?3．
2?b???b?2 3?y2x2y2x2∴所求轨迹方程为＋＝1，或＋＝1．
222233点评：要快速准确地解题，必须要有一定的技能的积累．将OP⊥OQ、PQ|＝数量上的关系，解二元一次方程组等技能与平时的训练是密不可分的．
10转化为2四、信心坚定保成功
y2x2例4 已知椭圆2＋2＝1（a＞b＞0），A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线
baa2?b2a2?b2与x轴交于点P(x0，0)，求证：－＜x0＜．
aax12y12x22y22证明：设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则2＋2＝1，2＋2＝1，
ababb222
即y2－y 1＝－2(x22－x12)．
a∵线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(x0，0)，
∴|PA|2＝|PB|2，即(x0－x1)2＋(0－y1)2＝(x0－x2)2＋(0－y2)2， 11b2222222整理得，x0＝(x2－x1＋y2－y 1)＝[x2－x1－2(x22－x12)] ＝
2(x2?x1)2(x2?x1)a精心校对
高中数学-打印版
a2?b2(x2＋x1)． 2a2∵－2a＜x2＋x1＜2a，
a2?b2a2?b2a2?b2a2?b2a2?b2∴－＜(x2＋x1)＜，即－＜x0＜． 2a2aaaa点评：要有能够成功解题的坚定信心，首先坚信x0一定可以用x2、x1表示出来；得到a2?b2解析式x0＝(x2＋x1)以后，要坚信x2＋x1的范围是可以求出来的．有了以上信心，
2a2下面的工作就是运算的问题了．
精心校对
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习圆锥曲线消元的方法和技巧
