2024-2024学年数学人教A版选修2-2检测：1.5.3定积分的概念

1.5.3 定积分的概念

填一填 1.定积分的概念

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?

?a

bf(x)dx，即

??a

bf(x)dx＝lin→∞m

? n

i＝1

n

b－a

f(ξi)，这里，a与b分别叫作积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．

2．定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分?bf(x)dx表示

?a

由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．

3．定积分的性质

(1)?bkf(x)dx＝k?bf(x)dx(k为常数)．

?a?a?a

?ab(2)?b[f1(x)±f2(x)]dx＝?bf1(x)dx±?f2(x)dx. ?a?a(3)?bf(x)dx＝?cf(x)dx＋?bf(x)dx(其中a

?a?c 判一判 1.?bf(x)dx＝?bf(t)dt.(√) ?a?a?a?a?

?a

2.?bf(x)dx的值一定是一个正数．(×) 3.?b(x2＋2x)dx＝?bx2dx＋?b2xdx.(√)

?a?a

4.?b(ln x－x3)dx＝?bln xdx－?bx3dx.(√)

?a?a

5.?2－1(－2)dx＝6.(×)

6．若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则?a－af(x)dx＝0.(√)

0

?

7．若偶函数y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续，则?a－ag(x)dx＝2?ag(x)dx.(√)

??

8．定积分?

?a

bf(x)dx是一个正常数．(×)

想一想 1.如何理解定积分的几何意义？

(1)定积分?bf(x)dx是一个常数——实数，一般情况下，被积函数y＝f(x)的图象可以在x

?a

轴的上方，也可以在x轴的下方，在积分区间[a，b]上，只有y＝f(x)≥0(图象不在x轴的下方)时，?bf(x)dx才等于曲边梯形的面积，也就是说，在积分区间[a，b]上，当y＝f(x)<0(图象在x

?a

轴的下方)时，?bf(x)dx<0，－?bf(x)dx等于曲边梯形的面积．

?a?a

2．分段函数怎样求定积分？

分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 3．计算定积分的常用技巧有哪些？

(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的线性性质进行计算，可以简化计算；

(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算；

(3)如果函数具有奇偶性，应借助图象的对称关系及定积分的几何意义求值． 4．用定义法求定积分的步骤有哪些？ 用定义法求积分的步骤共四步． (1)分割：将积分区间[a，b]n等分；

(2)近似代替：取点ξi[xi－1，x1]，可取ξi＝xi－1或者ξi＝xi；

b－a

(3)求和：? f(ξi)；

n＝i1

n

(4)求极限：?

?a

bf(x)dx＝lin→∞m

? nf(ξi)．

i＝1

n

b－a

感悟体会

练一练 11.直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线y＝围成曲边梯形的面积用定积分表示是( )

x

1

A.?20dx B.?2dx ??x

1

0

11C.?1dx D.?2dx ?x?x

2

1

1

解析：由定积分的定义知1是积分下限，2是积分上限，是被积函数，故选D.

x

答案：D

2．定积分?1xdx与?1xdx的大小关系是( )

?0?0

A.?1xdx＝?1xdx B.?1xdx>?1xdx

?0?0?0?0

C.?1xdx

?0?0

解析：在同一坐标系内作出函数y＝x和函数y＝x的图象如图，由图可知，当x∈(0,1)时，y＝x的图象位于y＝x图象的上方，由定积分的几何意义知，?1xdx

?0?0

答案：C

3．计算定积分?20242024dx＝________.

?2024

解析：由定积分的几何意义知?20242024dx＝2024×(2024－2024)＝2024.

?2024

答案：2024

1

4．若?bf(x)dx＝，则?b2f(x)dx＝________.

2??

a

a

11

解析：∵?bf(x)dx＝，∴?b2f(x)dx＝2?bf(x)dx＝2×＝1.

22???

a

a

a

答案：1

知识点一 定积分的概念 1.关于定积分a＝?2－1(－2)dx的叙述正确的是( )

?

A．被积函数为y＝2 B．被积函数为y＝－1 C．被积函数为y＝－2 D．被积函数为y＝1

解析：由定积分的定义知，被积函数为y＝－2，故选C. 答案：C

2．利用定义计算定积分?2x3dx为( )

?0

A．4 B．－4 C．0 D．2 解析：令

f(x)＝x3，则

n

??0

2x3dx＝lin→∞m

i＝1

2i?2

?f??n?·n

n

2i?32

＝lin→∞m? ? ?n?·n

i＝1

?2?2?3?4?3?2n?3???＋＋…＋＝lin→∞m ?n???n??n??n??

?

?

163

333?＝lin→∞m ??n4?1＋2＋3＋…＋n??

??16?n?n＋1?????1＋1?2?＝4，故选A. 2?＝lin→∞＝lin→∞m ?4·m ?4????n??2???n???

答案：A 知识点二 定积分的几何意义 3.用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：