? 心智图像的合理性体现在直观性、简洁性和准确性
数学思路的生成通常需要借助合理的心智图像，需要学习者有条理地思考，所谓“从混沌中发现有序”就是这个道理。同样的一个线条，可以画成无章的杂图乱线，也可以绘出高傲的天鹅、俏丽的飞鸽。
心智图像的合理性集中体现在直观性、简介性和准确性上。 问题5：四个小孩玩球时打碎了玻璃。
老师：“是谁把玻璃打碎的？” 宝宝：“是可可。” 可可：“是毛毛。” 多多：“不是我。” 毛毛：“可可说谎。”
如果他们四个人中只有一人说的是真话，那么打碎玻璃的是谁？
问题6：判断方程x?sinx根的个数.
引申1：判断方程lgx?sinx根的个数.
引申2：判断方程log1x?(161x)根的个数. 16
03思路生成～联结
一、方法模型
模型1：
归结问题A问题B
模型2：
问题2问题3问题4问题1问题一般化方法一般化问题n??? 二、典型示例
2222问题1：已知M(x0,y0)是圆x?y?r(r?0)内部一点，则直线x0x?y0y?r与此圆的
位置关系是 .
问题2：天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是（ ）
A.椭圆 B.圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
问题3：用3个3，5个5排成一排，问能够排成多少个不同的8位数？
问题4：求以x1、x2、x3、x4、x5为未知数的五元一次不定方程x1?x2?x3?x4?x5?9的非负整数解的组数.
rruuurruuurruuur问题5：三角形ABC中，D是BC中点，若AB?b，AC?c，试用b,c表示AD；
rruuurruuurrb引申1：三角形ABC中，D是BC上点，若BD:DC?m:n，且AB?b，AC?c，试用,cuuur表示AD；
rruuurruuurr引申2：四边形ABCD中，M是AD中点，N是BC中点，若AB?b，DC?c，试用b,cuuuur表示MN；
引申3：四边形ABCD中，M是AD上点，N是BC上点，若AM:MD?BN:NC?m:n，
rruuurruuurruuuur且AB?b，DC?c，试用b,c表示MN；
uuurruuurr引申4：四面体ABCD中，AB?b，DC?c，M、N分别是AD、BC上点，
rruuuur①若M、N分别是AD、BC中点，试用b,c表示MN；
rruuuur②若AM:MD?BN:NC?m:n，试用b,c表示MN.
问题6：线性距离之和最小问题 研究函数f(x)??a|x?x|（其中a为有理数）的最值。
iiini?1初始问题：单、双线性距离之和最小问题。 例如：f(x)?|x?1|；f(x)?|x?1|?|x?3|。
引申1：三个系数相等线性距离之和最小问题。 例如：f(x)?|x|?|x?1|?|x?3|。
引申2：多个系数相等线性距离之和最小问题。例如：f(x)?|x?1|?|x?2|?L?|x?10|
引申3：多个系数不等（有理数）线性距离之和最小问题。例如：
1f(x)?2|x|?|x?2|?|x?5|
3
引申4：含参不等式的恒成立问题。例如：若|x?1|?2|x?3|?a，则实数a的取值范围是什么？
引申5：街道距离最值的布点问题。例如：在街道上择一地点建立供货站，使沿街各店铺到此供货站的距离之和为最小。
ABCDEFG引申6：复杂街道距离最值的布点问题。例如：在主街道上择一地点建立供货站，使位于沿街各支线末端的店铺（那些带☆的位置）到此供货站的距离之和为最小。
引申7：更复杂街道距离最值的布点问题。例如：在主街道上择一地点建立供货站，使位于沿街各支线(有共线现象)末端的店铺（那些带☆的位置）到此供货站的距离之和为最小。
引申8：平面格点距离最值问题。例如：某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点为报刊零售点A（-2，2），B（3，1），C（3，4），D（-2，3），E（4，5），F（6，6）请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，使 6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.
ABCDEFGABCD
04思路生成～联系
一、方法模型
类比低维问题单纯问题高维问题复合问题化归
二、典型示例
? 化归
问题1：函数y?logax的图象绕原点逆时针旋转90度得到的图像是函数（ ）的图象。 (A)y?loga
1x?xy?ay?a (B) (C) (D) y?log(?x)a x
uuruuruur问题2：质点M在以下三个力：f1?(4,2)，f2?(?1,3)，f3?(1,?4)的共同作用下，从点
P（6，11）位移到了点Q（5，15），这三个力的合力对质点所做的功为（ ） A. 0
问题3：在一座城市中，横纵街道构成了矩形网格，若某人在4×3矩形一顶点A处，沿网格中的街道从点A驾车到点B的不同路径中，最短路径的条数是多少？
引申1：在坐标系中，第一象限的坐标网格同样组成了例中的“街道”，任选三个整数格点，并求从O点出发到该点最短路径条数？
引申2：给出问题1的一般结论——在坐标系中，从原点O(0,0)到整格点P(m,n)的最短路径条数是多少？观察整个图象，看看你得到了什么？
B. 2 C. 4
D. 8
张雪明老师自主招生解题思路（上午）讲课教案
