自主招生解题思路（上午课程）
01高校自主招生备考指南
一、不忘高中以前的数学
例如：（2012卓越）如图，半径为5的圆O中，延长长度为8的弦BC至E，使CE?4，作圆的切线EF，F为切点，直径MN?BC（M在BC的劣弧上），若MF交BC于G，求GE的长。
N F O
BGCE
M二、重视高中现在的数学
例如：（2012卓越）已知a,b?{1,2,3,4,5}，直线y?ax?b与圆x2?y2?2，求 （1）直线与圆有交点的概率； （2）直线与圆的交点个数的数学期望。
三、关注高中以后的数学
??例如：（2012香港大学）（1）求证
?20f(sinx)dx??20f(cosx)dx；
（2）求证
???0xf(sinx)dx???2f(sinx)dx；（3）求??xsinx001?cos2xdx。
四、关注学校特色及培养理念
2010北大自主招生（三校联招）数学部分
1．（仅文科做）0????，求证：sin????tan?． 25?1．（25分） 22．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为3．AB为y?1?x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25分） 4．向量OA与OB已知夹角，OA?1，OB?2，OP?(1?t)OA，OQ?tOB，0≤t≤1．PQ1在t0时取得最小值，问当0?t0?时，夹角的取值范围．（25分）
55．（仅理科做）存不存在0?x??，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列．（25分） 2
02解题思路生成～简介
一、名词解释
T——Tie [ta?]（联结） L——Link [l??k]（联系） A——Associate [?'so??et]（联想） Tie（联结）
现代汉语词典：结合在一起。
百度：结合，连接。如：画一条直线把这两点联结起来。
Link（联系）
现代汉语词典：彼此结上关系。
百度：广义而言，就是事物之间的有机关联，相互联络和结合。
Associate（联想）
现代汉语词典：由于某人或某物而想起其他相关的人或事物；由于某概念而引起其他相关的概念。
百度：联想是暂时神经联系的复活，它是事物之间联系和关系的反应。
二、TLA（三联）解题思路生成法
如图：当你凭直觉认定这是一个男人的头时，就会由此找到他的眼镜、鼻子甚至鼻．．．．毛……；而当你凭直觉认定这是一只老鼠时，就会由此发现它的耳朵、眼睛、胡子、尾巴……。 ．．．．
人们普遍具有直觉基础上的联想与建构能力。是“男人”还是“老鼠”？这是直觉选
择的结果；而由此获得的“眼镜”、“鼻子”、“鼻毛”、“耳朵”、“眼睛”、“胡子”、“尾巴”……．．．．就完全是人们在先前的直觉选择基础上，通过联想与建构的结果了。
这一心理学现象的重要启示在于，在数学学习中，可以充分利用直觉选择基础上的联想建构力，引导学生进行“再发现”。
基于认识论的联结、联系、联想哲学思想，我创设并长期实践TLA解题思路生成法。其基本思想见下表
三、TLA（三联）解题思路生成法的核心理念
TLA解题思路生成法，提倡：
——面对新颖的问题情景，强调构建生动的心智图象。 ——分析过程中要善于捕捉问题的暗示信息。 ——构造方法宜充分利用“原型”的启发功能。
——多进行一题多解、多题一解的尝试；多进行问题求解的最优化、简易化探索；跳出题海，追求问题解决的本质化方法，以不变应万变；以智慧战胜经验，以想法生成方法。
四、TLA（三联）解题思路生成法的“五化”操作
五化 特殊化 一般化 抽象化 符号化 结构化 五、典型示例
? 联结 问题1: 求值：
??； (1)0.23(2)2222?；
3(3)2323233L3；
.
(4)2?12?2?2?2?11112?L
? 联系
问题2: 研究：线段、三角形、四面体的重心。
结论：见下表
定义 线段的重心 三角形重心 四面体重心 性质 坐标公式 拓展结论 ? 联想
问题3：n为常数(n?N*)，当k!(n?k)!最小时，k的值为________________________.
问题4： 有一个三棱锥和一个四棱锥,它们的所有棱长都相等,现分别选择它们的完全相等的一个三角形面,将这个面完全粘合在一起,得到一个多面体,问这个多面体有多少个面?说明理由.
张雪明老师自主招生解题思路（上午）讲课教案
