_
(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln 3)·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
若将本例(3)中“tan x”改为“sin ?
2?解：∵y＝sin ?
2?
x?
1－2cos2
x?
4?
?”如何求解？
1
x?
1－2cos2
?＝－sin cos ＝－sin x 4?222
x?xx1
∴y′＝－cos x．
2
—————
——————————————
求函数的导数的方法
(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．
1．求下列函数的导数 (1)y＝
x＋x5＋sin xx2
1＋x1＋12
1
；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
cos 2x(3)y＝
1－
x；(4)y＝
. sin x＋cos xx＋x5＋sin x解：(1)∵y＝?32x2
＝x?32sin x＋x3＋2，
x∴y′＝(x)′＋(x3)′＋(x－2sin x)′
_
3?5＝－x2＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x.
2(2)y＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11. (3)∵y＝
1－
1＋x1＋
1
＝， 1－xx.
2
?2?－21－x′2
?′＝∴y′＝?＝21－x1－x1－x??
(4)y＝
＝cos x－sin x， sin x＋cos xcos 2x2
∴y′＝－sin x－cos x.
[例2] 求下列复合函数的导数： (1)y＝(2x－3)5；(2)y＝(3)y＝sin2
3－x；
?π?
?2x＋?；(4)y＝ln(2x＋5)．
3??
[自主解答] (1)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5由y＝u5 与u＝2x－3复合而成， ∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′ ＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4. (2)设u＝3－x，则y＝123－x由y＝u与u＝3－x复合而成．
12∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u)′(3－x)′ 11?1＝u－(－1)＝－u2 222
1
3－x2x－6
1
＝－2
3－x＝. _
π
(3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋，
3则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·2
??π?π?＝4sin?2x＋?·cos?2x＋?
3?3????2π?
＝2sin?4x＋?.
3??
(4)设y＝ln u，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x， 12
∴y′＝·(2x＋5)′＝.
2x＋52x＋5—————
——————————————
复合函数求导应注意三点
一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．
2．求下列复合函数的导数： (1)y＝(1＋sin x)2；(2)y＝ln (3)y＝
11－3x；(4)y＝x
x2＋1；
1＋x2.
4
解：(1)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′ ＝2(1＋sin x)·cos x. (2)y′＝(ln ＝
·( 2x＋11
x2＋1)′ x2＋1)′
_
11?·(x2＋1)2·(x2＋1)′ x2＋12
＝
1
＝
xx2＋1
.
(3)设u＝1－3x，y＝u－4. 则yx′＝yu′·ux′＝－4u－5·(－3) ＝
121－3x.
5
(4)y′＝(x ＝x′·
1＋x2)′
1＋x2＋x
(
1＋x2′ 1＋2x2
)
＝
1＋x2＋
x2
1＋x2
＝
1＋x2
.
导数的几何意义 [例3] (1)(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
14
3(2)已知曲线y＝x＋. 33
①求曲线在点P(2,4)处的切线方程； ②求斜率为4的曲线的切线方程． [自主解答] (1)y＝，y′＝x，
2∴y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2.
点P的坐标为(4,8)，点Q的坐标为(－2,2)， ∴在点P处的切线方程为y－8＝4(x－4)，即
x2
y＝4x－8.
_
在点Q处的切线方程为y－2＝－2(x＋2)，
??y＝4x－8，
即y＝－2x－2.解?得A(1，－4)，则A点的纵坐标为－4.
??y＝－2x－2，
14
3(2)①∵P(2,4)在曲线y＝x＋上， 33且y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.
2＝4， ②设切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝x0
x0＝±2.
?4?
切点为(2,4)或?－2，－?，
3??
4
∴切线方程为y－4＝4(x－2)或y＋＝4(x＋2)，
3即4x－y－4＝0或12x－3y＋20＝0. [答案] (1)－4
若将本例(2)①中“在点P(2,4)”改为“过点P(2,4)”如何求解？
?14?14
33解：设曲线y＝x＋与过点P(2,4)的切线相切于点A?x0，x0＋?， 33?33?
2. 则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x0
?14?
3
∴切线方程为y－?x0＋?＝x20(x－x0)，
3??3
即
y＝x20·x－
23
3＋x0
4
. 3
∵点P2，4在切线上，
2016年度高三数学一轮深刻复习(知识点归纳与归纳)-变化率与导数,导数的计算
