2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题29解析几何中的定点与定值问题
考点命题分析
定点与定值问题是解析几何中的高频考点，在近几年的考题中层出不穷.圆锥曲线的有关定点、定值等综合性问题涉及圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，同时又与函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系.求解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，合理猜想并仔细推理论证，对熟练运用所学知识分析问题、解决问题的能力要求较高，较大部分学生对此类问题望而生畏.
定点问题主要是曲线系(直线系)过定点的问题，反映的是数学对象的本质属性，如圆锥曲线的某些特有性质，因此，常见某些具有圆锥曲线的性质背景的题目(如蒙日圆、阿基米德三角形等).定值问题主要涉及面积、面积比、斜率、长度、角度等几何量的定值，也涉及动点运动轨迹中的某些不变因素.处理这两大类问题时可以直接推理求出定点、定值，也可以从特殊情形、极限状态、图形的对称性等方面入手猜测结论，再证明这个点(值)与变量无关，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果.同时，要设定合理的变量，准确把握各变量的数量关系，要善于捕捉题目信息，合理变形、消元，并注意整体思想的熟练应用.
1定点问题
曲线系(直线系)过定点的问题是一类常考题型，这类问题以直线和圆锥曲线为载体，结合其他条件探究或证明直线、曲线过定点或动点在定直线上等问题.试题条件中一般含有两个参数，解题过程就是利用条件消参的过程，因此，此类问题的求解往往伴随着一定的计算.
具体来讲，若是证明直线过定点，可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数，即得直线所过的定点；证明圆过定点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理；证明其他曲线过定点的问题时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零，解得定点. 例1椭圆
两点，且△ABF2的周长为8 (I)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否
的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率.过F1的直线交椭圆于A，B
存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 总结起来，应注意如下几点:
首先，仔细研究题干，认清问题本质，找准思路，预计求解过程中遇到的各种情况，也就是要想得明白，思路通畅可操作；
其次，找准主元，引入参数，建立各个量间的数量关系，运用消元变形、推理运算等手段证明定点、定值问题；
再次，要努力突破计算关、心理关，认真仔细计算、准确规范，随时检查，树立信心，只要方向正确就一算到底；
最后，必须树立数形结合意识，善于把握问题的特定信息，运用对称性、特殊性猜想定点、定值，然后证明，要仔细分析图中的点、线等关系，挖掘隐含条件，往往能取得出奇制胜的效果. 2定值问题
定值问题与最值问题属同一类问题，都是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量的变化或不变的问题.此类问题的求解的一种思路是找准变化的主元，设为参数，建立参变量与其他量的关系(如函数关系、方程关系、不等式关系等)，探求目标式，通过代数运算将目标式用参变量表示出来，这一步是求解的难点也是关键所在，然后再恒等变形得到定值.另一种思路是通过特殊值或极端情形探索出定值是多少，然后进行一般性计算或证明，探索出的定值也可以作为检验结果正确与否的试金石. 例2已知椭圆
(I)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)点P(m，0)为椭圆C长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证:例3已知点原点，PF1⊥x轴. (I)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设A，B是椭圆上两个动点，
(0<<4，且≠2).求证:直线AB的斜率等于定值.
为定值.
是椭圆
上一点，
分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标
的离心率为.过左焦点F且垂直于长轴的弦长为.
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x2y21．在椭圆C:2?2?1(2b?a?b?0)上任取一点P（P不为长轴端点），连结PF1、PF2，并延长与
ab椭圆C分别交于点A、B两点，已知?APF2的周长为8，?F1PF2面积的最大值为3. （1）求椭圆C的方程；
（2）设坐标原点为O，当P不是椭圆的顶点时，直线OP和直线AB的斜率之积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由. 2．已知椭圆C：3x2?4y2?12. （1）求椭圆C的离心率；
（2）设A,B分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线x?4相交于点M,N.当点P运动时,以M,N为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你的结论.
x2y23．已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的长轴长是短轴长的两倍，焦距为23．
ab
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A,B是四条直线x??a,y??b所围成的两个顶点,P是椭圆C上的任意一点,若
uuuruuuruuurOP?mOA?nOB，求证：动点Q?m,n?在定圆上运动．
4．已知抛物线E：y2?2px经过点P?4,4?，过点Q?0,2?作直线l交E于A，B两点，PA、PB分别交直线x??4于M，N两点. 3（1）求E的方程和焦点坐标； （2）设D???4?,0?，求证：DM?DN为定值. 3??25．已知抛物线C:y?2px?p?0?上一点P?x0,?4?到焦点F的距离PF?2x0. （1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l与抛物C交于A，B两点（A，B异于点P），且kAP?kBP??2，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
x2y26．已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左右顶点分别为A1,A2，左右焦点为分别为F1,F2，焦距为2，离
ab心率为
1. 2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若P为椭圆上一动点，直线l1过点A1且与x轴垂直，M为直线A2P与l1的交点，N为直线A1P与直线MF2的交点，求证：点N在一个定圆上.
x2y227．已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率e?，且椭圆过点
2ab（1）求椭圆C的标准方程；
?2,1
?uuuuruuuruuur（2）设直线l与C交于M、N两点，点D在椭圆C上，O是坐标原点，若OM?ON?OD，判定四边
形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.
x2y28．已知椭圆C:2?2?1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1).
ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线l:y?kx?t(t??1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
x2y29．椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左、右焦点分别为F1,F2，M在椭圆上，?MF1F2的周长为25?4，
ab面积的最大值为2. （1）求椭圆C的方程；
（2）直线y?kx（k?0）与椭圆C交于A,B，连接AF2，BF2并延长交椭圆C于D,E，连接DE，探索AB与DE的斜率之比是否为定值并说明理由.
10．已知直线l:x??2，点F(2,0),M是直线l上的动点，过点M作直线l??l，线段MF的垂直平分线交l?于点P，记点P运动的轨迹为E. （1）求E的方程；
（2）已知A?E，且点D满足AF?2FD，经过D的直线交E于B,C两点，且D为BC的中点，证明：
uuuruuur|AF|?|BF|?|CF|为定值.
11．已知抛物线C；y2?2px过点A?1,1?．
?1?求抛物线C的方程；
?2?过点P?3,?1?的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜
率分别为k1，k2，求证：k1?k2为定值．
x2y212．设椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1,F2，左项点为A上顶点为B.已知
abAB?15F1F2. 6（1）求椭圆的离心率；
2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题29解析几何中的定点与定值问题(原卷版)
