反比例函数
一、基础知识
k
1. 定义：一般地，形如 y ? （ k 为常数， k ? o ）的函数称为反比例函数。
x
k
y ? 还可以写成 y ? kx ?1
x
2. 反比例函数解析式的特征：
⑴等号左边是函数 y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量 x ，且指数为 1. ⑵比例系数k ? 0
⑶自变量 x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数 y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法
① 列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序）
③ 连线（从左到右光滑的曲线）
k
⑵反比例函数的图像是双曲线， y ? （ k 为常数， k ? 0 ）中自变量 x ? 0 ，
x
函数值 y ? 0 ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是 y ? x 或 y ? ?x ）。
k k
⑷反比例函数 y ? （ k ? 0 ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线 y ? x x （ k ? 0 ）上任意引 x 轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为 k 。 4. 反比例函数性质如下表：
k 的取值 图像所在象限 函数的增减性 一、三象限 在每个象限内， y 值随 x 的增大而减小 k ? o k ? o 二、四象限 在每个象限内， y 值随 x 的增大而增大 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）
6. “反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,
k
但是反比例函数 y ? 中的两个变量必成反比例关系。
x
7. 反比例函数的应用
二、例题
【例 1】如果函数 y ? kx2k值是多少？
2
?k ?2
的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的
k
【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 y ? ，（ k ? 0 ）即 y ? kx
x
?1 （ k ? 0 ）又在第二，四象限内，则k ? 0 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：
1?
?k ? ?1或k ? ?2k 2 ? k ? 2 ? ?1
? 解得??2
k ? 0 ???k ? 0 ??? k ? ?1 2 1? k ? ?1时函数 y ? kx2k?k ?2 为 y ? ? x 1
【例 2】在反比例函数 y ? ? 的图像上有三点?x ， y ?， ?x ， y ?， ?x ， y ??
1 1 2 2 3 3
x
。若 x1 ? x2 ? 0 ? x3 则下列各式正确的是（ A. y3 ? y1 ? y2
B. y3 ? y2 ? y1
）
D. y1 ? y3 ? y2
C. y1 ? y2 ? y3
【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。
111? ? ? ? ? ? 解法一：由题意得 y1 ， y2 ， y3
x1 x2 x3 ? x1 ? x2 ? 0 ? x3 ，? y3 ? y1 ? y2 所以选 A
1
解法二：用图像法，在直角坐标系中作出 y ? ? 的图像
x
描出三个点，满足 x1 ? x2 ? 0 ? x3 观察图像直接得到 y3 ? y1 ? y2 选 A 解法三：用特殊值法
1
? x1 ? x2 ? 0 ? x3 ,?令x1 ? 2, x2 ? 1, x3 ? ?1? y1 ? ? , y2 ? ?1, y3 ? 1,? y3 ? y1 ? y2
2
3n ? m
【例 3】如果一次函数 y ? mx ? n?m ? 0?与反比例函数y ? 的图像 相交于点
x
1 （ ，2 ），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ） 2
【解析】 1 ?3n ? m m ? 2 ? 1 ???m ? n ? 2 解得?? ??直线y ? mx ? n与双曲线y ??n ? 1 x相交于? ，2?，? ?2 x 2? ? ???? 3n ? m ? 1
y ? 2x ?1 ?1 ? 1
?直线为y ? 2x ?1,双曲线为y ? 解方程组??y ?
x ???x
?x1 ? ?1 得? y ? ?1 ? 1
1?
?x ? ? 2 2 ?? y2 ? 2
?另一个点为??1，?1??
【例 4】 如图，在 Rt?AOB 中，点 A 是直线 y ? x ? m 与双曲线 y ? 限的交点，且S?AOB ? 2 ，则m 的值是
m
在第一象 x
.
图 m 解:因为直线 y ? x ? m 与双曲线 y ? 过点 A ,设 A 点的坐标为?x , y ?.
A A
x
则有 y A ? xA ? m, y A ??m .所以m ? x y . A A xA
又点 A 在第一象限,所以OB ? xA ? xA , AB ? y A ? y A .
1 1 1 所以S ? OB ? AB ? x y ? m .而已知S ? 2 .
?AOB A A ?AOB
22 2
所以m ? 4 .
三、练习题
1. 反比例函数 y ? ? 的图像位于（
2
x
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限
）
D．第二、四象限
2. 若 y 与 x 成反比例， x 与 z 成正比例，则 y 是 z 的（ ）
D、不能确定
A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数
3. 如果矩形的面积为 6cm2，那么它的长 y cm 与宽 x cm 之间的函数图象大致为（
）
y o
x
y o
x
y o
x
y o
x
(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例题
