第十四章选修模块
14.1几何证明选讲
专题2 相似三角形的判定与性质
■(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,相似三角形的判定与性质,解答题,理22)选修4—1:几何证明选讲
如图,☉O的半径为6,线段AB与☉O相交于点C,D,AC=4,∠BOD=∠A,OB与☉O相交于点E.
(1)求BD的长;
(2)当CE⊥OD时,求证:AO=AD. 解:(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,
∴∠OCA=∠ODB.
∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC,∴. ∵OC=OD=6,AC=4,∴,∴BD=9. (2)证明:∵OC=OE,CE⊥OD, ∴∠COD=∠BOD=∠A.
∴∠AOD=180°-∠A-∠ODC=180°-∠COD-∠OCD=∠ADO. ∴AD=AO.
■(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,相似三角形的判定与性质,解答题,理22)选修4—1:几何证明选讲
如图,AB是☉O的一条切线,切点为B,直线ADE,CFD,CGE都是☉O的割线,已知AB=AC.
(1)求证:FG∥AC;
(2)若CG=1,CD=4,求的值.
解:(1)证明:因为AB为切线,AE为割线,所以AB2=AD·AE,又因为AC=AB,所以AD·AE=AC2.
所以,又因为∠EAC=∠DAC,
所以△ADC∽△ACE,所以∠ADC=∠ACE, 又因为∠ADC=∠EGF,
所以∠EGF=∠ACE,所以FG∥AC. (2)由题意可得G,E,D,F四点共圆. 所以∠CGF=∠CDE,∠CFG=∠CED. 所以△CGF∽△CDE,所以. 又因为CG=1,CD=4,所以=4.
专题4 圆周角、弦切角及圆的切线
■(2015银川二中高三一模,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理22)选修4—1:几何证明选讲 如图,已知AB为圆O的直径,C,D是圆O上的两个点,CE⊥AB于点E,BD交AC于点G,交CE于点F,CF=FG,求证:
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(1)C是劣弧BD的中点; (2)BF=FG.
证明:(1)∵CF=FG,∴∠CGF=∠FCG.
∵AB为圆O的直径,∴∠ACB=∠ADB=. ∵CE⊥AB,∴∠CEA=.
∵∠CBA=-∠CAB,∠ACE=-∠CAB, ∴∠CBA=∠ACE.
∵∠CGF=∠DGA,∠DGA=∠ABC, ∴-∠DGA=-∠ABC,
∴∠CAB=∠DAC,∴C为劣弧BD的中点. (2)∵∠GBC=-∠CGB,∠FCB=-∠GCF, ∴∠GBC=∠FCB,∴CF=FB,∴BF=FG.
专题5 圆内接四边形的判定及性质
■(2015辽宁大连高三双基测试,圆内接四边形的判定及性质,解答题,理22)选修4—1:几何证明选讲
如图,已知☉O1与☉O2相交于A,B两点,P是☉O1上一点,PB的延长线交☉O2于点C,PA交☉O1于点D,CD的延长线交☉O1于点N.
(1)点E是上异于A,N的任意一点,PE交CN于点M,求证:A,D,M,E四点共圆; (2)求证:PN2=PB·PC.
证明:(1)连接AB,∵A,B,P,E四点共圆,
∴∠ABC=∠E.
又∵∠ABC=∠ADC,∴∠ADC=∠E, ∴A,D,M,E四点共圆.
(2)连接BN,∵∠PNB=∠PAB=∠C,∠BPN=∠NPC, ∴△PNB∽△PCN,, ∴PN2=PB·PC.
■(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,圆内接四边形的判定及性质,解答题,理22)选修4-1:几何证明选讲
如图,已知AB是☉O的直径,CE⊥AB于点H,与☉O交于点C,D,且AB=10,CD=8,DE=4,EF与☉O切于点F,BF与HD交于点G.
(1)证明:EF=EG; (2)求GH的长.
解:(1)证明:连接AF,OE,OF,则A,F,G,H四点共圆.
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∵EF是切线,∴OF⊥EF,
∴∠FGE=∠BAF=∠EFG,∴EF=EG. (2)∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2, ∴EF2=OH2+HE2-OF2=32+82-52=48, ∴EF=EG=4,∴GH=EH-EG=8-4.
专题6
圆的切线的性质与判定
■(2015江西八所重点中学高三联考,圆的切线的性质与判定,解答题,理22)选修4-1:几何证明选讲
如图,直线PQ与☉O相切于点A,AB是☉O的弦,∠PAB的平分线AC交☉O于点C,连接CB,并延长与直线PQ相交于Q点.
(1)求证:QC·BC=QC-QA;
(2)若AQ=6,AC=5,求弦AB的长. 解:(1)证明:∵PQ与☉O相切于点A,
∴∠PAC=∠CBA.
∵∠PAC=∠BAC,∴∠BAC=∠CBA, ∴AC=BC=5.
由切割线定理得QA2=QB·QC=(QC-BC)QC,
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∴QC·BC=QC-QA.
(2)由AC=BC=5,AQ=6及(1),知QC=9. 由∠QAB=∠ACQ,知△QAB∽△QCA, ∴,∴AB=.
■(2015银川一中高三二模,圆的切线的性质与判定,解答题,理22)选修4-1:几何证明选讲
已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过A点作AD⊥CD于点D,交半圆于点E,DE=1.
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(1)证明:AC平分∠BAD; (2)求BC的长.
解:(1)证明:连接OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
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∵CD为半圆的切线,∴OC⊥CD,∴OC∥AD. ∴∠OCA=∠CAD,∴∠OAC=∠CAD, ∴AC平分∠BAD.
(2)连接CE,由∠OAC=∠CAD知BC=CE, 又∵A,B,C,E四点共圆, ∴cos∠B=cos∠CED,∴. 又∵DE=1,AB=4,∴BC=2.
■(2015东北三省三校高三第一次联考,圆的切线的性质与判定,解答题,理22)选修4-1:几何证明选讲 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接OD交圆O于点M.
求证:(1)DE是圆O的切线; (2)DE·BC=DM·AC+DM·AB. 证明:(1)连接OE.
∵点D是BC的中点,点O是AB的中点, ∴OD",AC,∴∠A=∠BOD,∠AEO=∠EOD. ∵OA=OE,∴∠A=∠AEO,∴∠BOD=∠EOD.
在△EOD和△BOD中,
∵OE=OB,∠EOD=∠BOD,OD=OD, ∴△EOD≌△BOD,
∴∠OED=∠OBD=90°,即OE⊥ED. ∵E是圆O上一点,∴DE是圆O的切线. (2)延长DO交圆O于点F. ∵△EOD≌△BOD,∴DE=DB. ∵点D是BC的中点,∴BC=2DB. ∵DE,DB是圆O的切线,∴DE=DB. ∴DE·BC=DE·2DB=2DE2. ∵AC=2OD,AB=2OF, ∴DM·AC+DM·AB=DM·(AC+AB)=DM·(2OD+2OF)=2DM·DF. ∵DE是圆O的切线,DF是圆O的割线, ∴DE2=DM·DF,∴DE·BC=DM·AC+DM·AB.
专题7 与圆有关的比例线
段
■(2015东北三省三校高三二模,与圆有关的比例线段,解答题,理22)选修4-1:几何证明选讲
如图,已知点C在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于点A,CD是∠ACB的平分线,交AE于点F,交AB于点D.
(1)求证:CE·AB=AE·AC;
(2)若AD∶DB=1∶2,求证:CF=DF.
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证明:(1)∵CA为圆O的切线,∴∠CAE=∠CBA.
又∠ACE=∠BCA,
∴△ACE∽△BCA,得,CE·AB=AE·AC. (2)∵CD平分∠ACB,∴∠ACF=∠BCD. ∵AC为圆的切线,∴∠CAE=∠CBD, ∴△ACF∽△BCD.
∴∠ACF+∠CAE=∠BCD+∠CBD, 即∠AFD=∠ADF,∴AF=AD. ∵△ACF∽△BCD,∴, ∴CF=DF.
14.2坐标系与参数方程
专题2 直角坐标方程与极坐标方程的互化
■(2015东北三省三校高三二模,直角坐标方程与极坐标方程的互化,解答题,理23)选修4—4:坐标系与参数方程
已知点P的直角坐标是(x,y),以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.设点P的极坐标是(ρ,θ),点Q的极坐标是(ρ,θ+θ0),其中θ0是常数.设点Q的平面直角坐标是(m,n).
(1)用x,y,θ0表示m,n;
(2)若m,n满足mn=1,且θ0=,求点P的直角坐标(x,y)满足的方程. 解:(1)由题意知
即 所以
(2)由题意知 所以=1. 整理得=1.
专题5 参数方程与普通方程的互化
■(2015银川二中高三一模,参数方程与普通方程的互化,解答题,理23)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C:=1,直线l:(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值及此时P点的坐标. 解:(1)曲线C的参数方程为直线l的普通方程为x+2y-6=0.
(2)设曲线上任意一点P的坐标为(4cosθ,2sinθ), 则|PA|的距离是P到直线距离的两倍, 即|PA|=2d=2=2,
当sin=-1时,|PA|有最大值. 此时P的坐标为(-2,-3).
专题6 极坐标方程与参数方程的应用
■(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为(t为参数),已知曲线C2的极坐标方程为=1. (1)写出曲线C1,C2的直角坐标方程;
(2)若曲线C1和C2有且只有一个公共点,求实数m的值. 解:(1)曲线C1:y=mx-2m-1,
曲线C2:x2+y2-4y=0(y≠0),
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高考数学几何证明选讲
