第三章 导数
第1节 导数的概念与运算
题型33 导数的定义——暂无 题型34 求函数的导数
1.（2015天津文11）已知函数的导函数，若
f?x??axlnx,x??0,??? ，其中a为实数，f??x?为f?x?f??1??3 ，则a的值为 ．
1. 解析 因为f??x??a?1?lnx? ，所以f??1??a?3.
2n2.（2015陕西文21(1)）设fn(x)?x?x?????x?1，x厖0，n?N，n2.求fn??2?.
2. 解析 由题设fn??x??1?2x?L?nxn?1，所以fn??2??1?2?2?3?22?L?n2n?1， 所以2fn??2??1?2?2?22?3?23?L?n2n， 由错位相减法求得：
?fn??2??1?1?2?1?22?1?23?L?2n?1?n?2n?所以fn??2???n?1?2n?1.
1??1?2n?1?2?n?2n，
x3.（2016天津文10）已知函数f(x)?(2x+1)e,f?(x)为f(x)的导函数，则f?(0)的值为
__________.
3.3解析 因为f??x??(2x+3)ex，所以f?(0)?3. 4.（2017浙江20） 已知函数f?x??x?2x?1e（1）求f?x?的导函数；
???x1??x…??.
2??+??上的取值范围. （2）求f?x?在区间?，?1?2??4.解析 （1）因为 x?2x?1????1?1?x??x，?e???e， 2x?11??x??xe?x?2x?1e?所以f??x???1??2x?1?????1?x??2x?1?2e?x?1?x???.
2?2x?1?5. 2?（2）由f??x???1?x??2x?1?2e?x2x?1??0，解得x?1或x?当x变化时，f?x?，f??x?的变化情况如下表所示.
x 1 2?1??,1? ?2?1 0 0 ?5??1,? ?2?5 2?5?,???? ?2?f??x? f?x? 1又f?x??2 1?1e2 2? ↘ ? 0 1?5e2 2? ↘ ↗ ?5?1?11?1?2x?1?1e…0，e2?e2，所以f?x?在区间?,???上的取值范
22?2??2?x?1?1?围是?0,e2?.
?2?题型35 导数的几何意义
1. （2013江西文11） 若曲线y?x?1（??R）在点处的切线经过坐标原点，则（1，2）??? . 1.解析 因为y??a?xa?1，所以在点?1,2?处的切线斜率k??，则切线方程为y?2???x?1?. 又切线过原点，故0?2???0?1?，解得??2.
2.(2013广东文12）若曲线y?ax?lnx在点?1,a?处的切线平行于x轴，则
2a? ．
2.分析 计算出函数y?ax?lnx在点?1,a?处的导数，利用导数的几何意义求a的值.
21，所以y?x?1?2a?1.因为曲线在点?1,a?处的切线平行于x轴， x1故其斜率为0，故2a?1?0,a?.
2解析 因为y??2ax??x3?(a?5)x,x?0,?3. (2013天津文20）设a?[?2,0]， 已知函数f(x)??3a?32
x?ax,x?0.?x??2（1）证明f(x)在区间??1,1?内单调递减， 在区间?1,???内单调递增；
（2）设曲线y?f(x)在点Pi(xi,f(xi))(i?1,2,3)处的切线相互平行， 且x1x2x3?0, 证明：x1?x2?x3?1. 33.分析 （1）利用导数和二次函数的性质证明；（2）利用（1）的结论、直线平行的条件用
参数a表示出x1?x2?x3，用换元法证明结论.
解析 证明：（1）设函数
f1?x??x3??a?5?x?x≤0?,f2?x??x3?a?32x?ax?x≥0?, 22①f1??x??3x??a?5?，由于a???2,0?,从而当?1?x≥0时，
f1??x??3x2??a?5??3?a?5≤0，所以函数f1?x?在区间??1,0?内单调递减.
②f2??x??3x??a?3?x?a??3x?a??x?1?,由于a???2，，0?所以当0?x?1时，
2f2??x??0；当x?1时，f2??x??0.即函数f2?x?在区间?0,1?内单调递减，在区间?1,???内单调递增.
综合①②及f1?0??f2?0?，可知函数f?x?在区间??1,1?内单调递减，在区间?1,???内单调递增.
（2）由（1）知f??x?在区间???,0?内单调递减，在区间?0,??a?3??内单调递减，在区间6??a?3?,???内单调递增. ??6?x2,x3互不相等，因为曲线y?f?x?在点P从而x1,f?xi??i?1，2，3?处的切线相互平行，ixi,22且f??x1??f??x2??f??x3?．不妨设x1?0?x2?x3，由3x1??a?5??3x2??a?3?x2 222可得3x2?3x3??a?3??x2?x3??0，解得x2?x3??a?3x3??a?3?x3?a，??a?3, 3从而0?x2?a?3?x3． 62设g?x??3x??a?3?x?a则g?，?a?3???g(x2)?g?0??a. ?6?
2018高考数学复习：第3章导数第1节导数的概念与运算(含解析)
