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2020 年普通高等学校招生全国统一考试（山师附中模拟卷）
数学学科
本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题 卡上．写在本试卷上无效．
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 N ? {? 2 ，? 1，0 ，1，2} ，则 M ? N =（ M ? { x | x2 ? 2x ? 0} ，
） D．{ ?1，0 ，1}
）
A． ?
B．{1} C．{ 0 ，1}
2. 已知复数 z(1 ? 2i) ? i ，则复数 z 满足 z 在复平面内对应点所在的象限是（
A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 已知向量a ? (m，- 2), b ? (2,1),则“m ? 1”是“a, b夹角为钝角”的（ A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件
）
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不
区分站的位置，则不同的站法总数是 （ ） A.90 B.120 C.210
|x|
D.216
1 5. 已知定义在 ，b ? ? f ( log 3 ) ，c ? f ( ln 3) ，则 R 上的函数 f ( x ) ? x ? 2， a ? f ( log 3 5 ) 2
a ，b ，c 的大小关系为（ A. c ? b ? a
）
B. b ? c ? a
C. a ? b ? c D. c ? a ? b
6. 对 n 个不同的实数 a1 , a2 ,..., an 可得 n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个 n!行的 数阵.对第i 行 a , a ,..., a ，记b ? ?a ? 2a ? 3a ? ... ? ??1?na , i ? 1, 2, 3,..., n!.
i1 i 2 in
i i1
i 2 i3 in n
例如用 1，2，3 可得数阵如右，对于此数阵中每一列各数之和都是 12， 所以b1 ? b2 ? ...b6 ? ?12 ? 2?12 ? 3?12 ? ?24. 那么，在用 1，2，3，4，5 形成的数阵中， b1 ? b2 ? ...b120 等于（ A．-3600
） C．-1080
1
B．-1800 D．-720
7. 已知 ?ABC 中， A ? 60? ， AB ? 6 ， AC ? 4 ， O 为 ?ABC 所在平面上一点， 且满足
OA ? OB ? OC ．设 AO ? ?AB ? ?AC ，则?? ?的值为（
）
D. 11 7
A．2
B．1
11 C． 18
8. 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， AB ? BC ， AB ? BC ? BB1 ? 1， M 是 AC 的中点，则三棱锥 B1 ? ABM 的外接球的表面积为（
）
3 A. π 2
B. 2π
5 C. π 4 9 D. π 8
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9. Keep 是一款具有社交属性的健身 APP，致力于提供健身教学?跑步?骑行?交友及健身饮
食指导?装备购买等--站式运动解决方案．Keep 可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程?不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划?小明根据 Keep 记录的 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图?根据该折线图，下列结论正确的是（ ）．
A. 月跑步里程最小值出现在 2 月 B. 月跑步里程逐月增加
C. 月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数
D.1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小
10. 已知函数 f (x) ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x ，下列结论正确的是 （
）
A. 函数图像关于 x ? 对称 B. 函数在? ,
π
k??(k ? Z ) C. 若 f (x1 ) ??f (x2 ) ? 4 ，则 x1 ? x2 ??2
D. 函数 f (x) 的最小值为?2
?π π ?
上单调递增
?? 4 4 ???4
2
11. 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 棱长为 2 ,如图, M 为 CC1 上的动点, AM ? 平面?.下面
说法正确的是（ ）
A. 直线 AB 与平面?所成角的正弦值范围为[
3 2
, ] 3 2
B. 点 M 与点C1 重合时,平面?截正方体所得的截面，其面积越大,周长就越大
C. 点 M 为CC1 的中点时,若平面?经过点 B ,则平面?截正方体所得截面图形是等腰梯形
D. 已知 N 为 DD1 中点,当 AM ? MN 的和最小时, M 为CC1 的中点
12. 函数 f (x) ? ex ? a sin x ， x ? (?? ，? ?) ，下列说法正确的是（
）
A. 当 a ? 1 时， f (x) 在(0 ，f (0)) 处的切线方程为 2x ? y ? 1 ? 0
B. 当 a ? 1 时， f (x) 存在唯一极小值点 x0 且?1 ? f (x0 ) ? 0
? ?) 上均存在零点 C. 对任意 a ? 0 ， f (x) 在(?? ，
D. 存在 ? ?) 上有且只有一个零点 a ? 0 ， f (x) 在(?? ，三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. (2x ??
1 x2
)6 的展开式中的常数项为
.（用数字作答）
14. 一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的 1 个绿球和 3 个红球.甲、乙两人从箱中
轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸 到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次 绿球的概率是
．
15.
1 1
) ，则 ? 的 已知a, b 为正实数，直线 y ? x ? a 与曲线 y ? ln(x ? b) 相切于点(x ,
y
0 0
a b
最小值是 ．
3
y2 16. 已知双曲线 x? ? 1 ，F, F是双曲线的左右两个焦点，P 在双曲线上且在第一象限，
1 2
8
2
圆 M 是?F1PF2 的内切圆，则 M 的横坐标为 ，若 F1 到圆 M 上点的最大距离为 4 3 ， 则?F1PF2 的面积为
.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）
已知数列?an ? 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn ? 2an ? 1(n ? N? ) 求数列?an ? 的通项公式； （1）
（2） 设b ?
n
?
an
，数列{bn}的前 n 项和T ，且T ? m 对任意 n ? N 恒成立，求 m 范围.
n
n
??
Sn ? Sn ?1
18．（12 分）
2 平面四边形 ABCD 中，边 BC 上有一点 E ，?ADC ? 120? ，AD ? 3 ，sin ?ECD ? ，DE ? 3 ，
3
3 3
． 4
（1） 求 AE 的长；
（2） 已知?ABC ? 60? 求?ABE 面积的最大值． CE ?
19.（12 分）
在直角梯形 ABCD 中， AD // BC, AB ? BC, BD ? DC, 点 E 是 BC 的中点.将ΔABD 沿
BD 折起，使 AB ? AC ,连接 AE, AC, DE ,得到三棱锥 A ? BCD .
（1） 求证：平面 ABD ? 平面 BCD
（2） 若 AD ? 1, 二面角C ? AB ? D 的余弦值为
7 , 求二面角
B ? AD ? E 的正弦值.
7
4
20．（12 分）
从 2019 年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情．目前，蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延．蝗虫危害大，主要危害禾本科植物， 能对农作物造成严重伤害,每只蝗虫的平均产卵数 y 和平均温度 x 有关，现收集了以往某地的 7 组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
平均温度 x/℃ 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数 y/个 7 11 21 24 66 115 325 n n 2(xi ? x)(zi ? z) (x ? x) y x z i?1 i i?1 ?? 27.429 81.286 3.612 1 7 表中 zi ? ln yi , z ? ?zi . 7 i ?1
40.182 147.714
（1） 根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? ce
dx
(其中 e=2.718···为自然对数的底数)哪一个更适
宜作为平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由)并由
判断结果及表中数据,求出 y 关于 x 的回归方程.(结果精确到小数点后第三位)
（2） 根据以往统计,该地每年平均温度达到 28℃以上时蝗虫会造成严重伤害,需要人工防治,
其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到 28℃以上的概率为 p(0＜p＜1) .
（i） 记该地今后 n(n ? 3, n ? N ) 年中，恰好需要 2 次人工防治的概率为 f ( p) ，求 f ( p) 取
?
得最大值时相应的概率 p0 .
（ii） 根据（i）中的结论，当 f ( p) 取最大值时，记该地今后 6 年中，需要人工防治的次数
为 X ，求 X 的数学期望和方差。
附：对于一组数据(x1, z1 ), (x2 , z2 ),K(x7 , z7 ), 其回归直线 z ? a ? bx 的斜率和截距的最小二
乘法估计分别为： b ? i?1
??(x
7 7 i
? x)(zi ? z)
2 i
,a ? z ? bx .
?(x? x)
i?1
21．（12 分）
已知椭圆 E :
xa
2
?
3 经过点(?1, ) ，且焦距为 2 . ? 1(a ? b ??0)
2 b2 y2
2
（1） 求椭圆 E 的方程；
（2） 设 A 为椭圆 E 的左顶点，过点 F2 的直线l 交椭圆 E 于 P,Q 两点，记直线 AP 、AQ 的
斜率分别为 k , k ，若k ? k ? ? ，求直线l 的方程.
1 2 1 2 1
2
5
2020年普通高等学校招生全国统一考试(山师附中模拟卷)数学试题
