数学竞赛第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试及答案
1.
0.5元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得
这些练习本只给男生， 平均每人可得10本，那么将这些练习本平均分给全班同学，
某班买来单价为 15本，如果将
每人应付多少钱？
2.
自然数的平方按大小排成 14916253649 ”问：第612个位置的数字是几？
3.有一批规格相同的圆棒，每根划分成长度相同的五节，每节用红、黄、蓝三种颜色来涂。
问：可
以得到多少
种颜色不同的圆棒？
4 ?已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑 7步的路程与兔跑5步的路程相同，而猫跑 3步的时间 与狗跑5步的时间相同，猫跑5步的时间与兔跑7步的进间相同，猫、狗、兔沿着周长为 300米的圆形跑道， 同时同向同地出发，问：当它们出发后第一次相遇各跑了多少路程？
5?弹子盘为长方形 ABCD四角有洞，子弹从 A出发，路线与边成45°角，撞到边界即反弹，如右 图所示，AB=4, A[=3时，弹子最后落入 B洞问：AB=1995, AD=994时，弹子最后落入哪个洞？在落 入洞之前，撞击 BC边多少 次？（假定弹子永远按上述规律运动，直到落入一个洞为止）。
/
6.在1,2,3,, , 1995 这1995个数中找出所有满足下面条件的数
a来：（1995+a）能整除。
参考答案
1.3 元钱
猫跑了 8437.5米 532, 798, 1330
2.是 0 3.135 种 4.狗跑了 23437.5 米；兔跑了 16537.5 米；
6.1254,210,1680,
5.经过撞击BC边997次后，弹子落入 D洞
1. 【解】本数是15的倍数，也是10的倍数，因而是］15 , 10 : = 30的倍数。
30 30
亦=2名女生，或10 = 3名男生。现在应分给
将每
30
本作为一组，原来每组分给
5（
= 2 + 3名学
生（其中女生2名，男生3名），所以每人得：30 + 5= 6 （本），每人应付0.5 X 6= 3 （元）
2. 【解】1 一 3的平方是一位数，占去 3个位置； 4— 9的平方是二位数，占去12个位置； 1O 一 31的平方是三位数，占去 66个位置； 32 — 99的平方是四位数，占去 272个位置； 将1到99的平方排成一行，共占去
3 + 12+ 66 + 272= 353
个位置，从612减去353,还有259个位
要占去259位置中的255
置259= 51 X 5+ 4。从100起到150,共51个数，它们的平方都是五位数，
3
［解】每段均有3种涂法，共有3X 3X 3X 3X 3= 243
所以可以
种涂法，其中颜色两头对称的（如黄红蓝红 黄）的有3X 3X 3= 27种，而不对称的被重复计算了。 得到（243 — 27 ）十 2+ 27= 135 不同的圆棒。
（种）
个。151X 151= 22801，从左到右的第4个位置上是0,这就是本题的答案，即第 612个位置上的数 是0。
时间为t，则狗跑1步的时间为-t，兔跑1步的时间为 9f
5
49 49S 1则狗的速度为25
1，兔的速度为习，即猫、狗、兔的速度之比 兔的速度为 设猫的速度为 则狗的速度为,
25t 11
兔跑步的路程为百S ;设猫跑步的
4.【解】设猫跑1步的路程为S,则狗跑1步的路程为3 S， 441圈，此时 狗比兔 ,即当猫跑225圈时，狗跑625圈，兔跑 为 9X 25 : 25 X 25 : 9 X 49= 225 : 625 : 441
多跑400圈，兔比猫多跑216圈，400与216的最大公约数为8,所以第一次相遇时狗比兔多 跑50圈，兔比猫多 跑 27 圈，此时猫跑了 225 X 300-8= 8437.5 ( 米)，狗跑了 625 X 300-8= 23437.5 (米)，兔跑了 441 X 300-8= 16537.5 ( 米)。
5 S
-t，所以猫的速度为-，狗的速度为
25S
5.【解】设由DC边反弹，弹子撞击 BC边的位置距离C点为K格，从BC边反弹后，弹子撞击 AB边 的位置距离 B点为
(1994 — k)格，距离A点为(k + 1)格经过AB边反弹后，弹子撞击 AD边的位置距离A点为(k + 1)格，
距离D点为］1994 — (K + 1)］格，经AD反弹，弹子撞击 DC边的位置距离D点为］1994 — (k + 1)］格，距 离C点为1995 — : 1994 — (K + 1) : = K+ 2格再撞击BC边的位置距离C点为k + 2格，即比前一次的 位置 下移2格。 第一次撞击BC边的位置离C点为1格以后每撞击BC边一次，距离增加2格，第n次撞击BC边的位 置距离C点 为(2n — 1)格，当n= 997时，离C点有1993格，离B点只有1格经BC的反弹，撞击AB的位置离A点为1994 格，再反弹就落入D洞。
答：经过撞击BC边997次后，弹子落入D洞。
1995XLJ
1995xt? 1995x1995
6.【解】f二是自然数，所以1995 — WI二二
也是自然数,即1995十a是1995X 1995的约数
因为1995X 1995= 3
4 5
X 5X 7X 19，它在1995与2X 1995之间（不包括1995）的约数有
2
2
2
3X 19= 3249,
2
22
7X 19 = 2527, 3X7 2X 19= 2793,
2
5 X 7X 19= 3325,
5 X 5X7 = 2205,
4 2
3X 5 X7 = 3675
于是 a 的值有 6 个，即 3249— 2527
— 2793— 3325— 2205— 3675—
1995=1254。 1995=532。
1995=798, 1995=1330, 1995=210, 1995=1680
第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试
