2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题
一.选择题(共6小题,满分30分,每小题5分) 1.(5分)从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段,这三条线段能够组成等腰三角形的概率是( ) A. B. C. D.1 2.(5分)(2008?铜仁地区)如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足为N,且AB=6,BC=10,MN=1.5,则△ABC的周长是( )
A. 28 B.3 2 18 C. D.2 5 3.(5分)已知xy≠1,且有5x+2011x+9=0,9y+2011y+5=0,则 A. 5B. 9C. 201122
x的值等于( ) y?9 9 5 ?5 D. 2011 4.(5分)已知直角三角形的一直角边长是4,以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示),已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10,那么以下四个整数中,最接近图中两个弓形(带点的阴影图形)面积之和的是( )
A. 6 B.7 8 C. D.9 5.(5分)设a,b,c是△ABC的三边长,二次函数在x=1时取最小值,则△ABC
是( ) A. 等腰三角形 B.锐 角三角形 C. 钝角三角形 D.直 角三角形 6.(5分)计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则.如图,堆栈(1)的2个连续存储单元已依次存入数据b,a,取出数据的顺序是a,b;堆栈(2)的3个连续存储单元已依次存人数据e,d,c,取出数据的顺序则是c,d,e,现在要从这两个堆栈中取出这5个数据(每次取出1个数据),则不同顺序的取法的种数有( )
A. 5种 B.6 种 C. 10种 D.1 2种 二.填空题(共6小题,满分30分,每小题5分)
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7.(5分)设方程x﹣|2x﹣1|﹣4=0,则满足该方程的所有根之和为 _________ . 8.(5分)(人教版考生做)如图,在平行四边形ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于E,且与CD相切.若AB=4,BE=5,则DE的长为 _________ .
8.(5分)(北师大版考生做)如图B,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的点,AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则
FG的值为 _________ . AF
9.(5分)已知a﹣a﹣1=0,且
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?2,则x= _________ . 3 10.(5分)甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价只有8元和9元,若两人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的商品有 _________ 件. 11.(5分)如图,电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,若CD与地面成45°,∠A=60°,CD=4m,
,则电线杆AB的长为 _________ 米.
12.(5分)若实数x,y,使得为 _________ .
这四个数中的三个相同的数值,则所有具有这样性质的数对(x,y)
三.解答题(共4小题,满分80分,每小题20分) 13.(20分)已知:(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式. 求证:a=b=c 14.(20分)(2010?钦州)如图,将OA=6,AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.
(1)点B的坐标为 _________ ;用含t的式子表示点P的坐标为 _________ ; (2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0<t<6);并求t为何值时,S有最大值?
(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
15.(20分)对于给定的抛物线y=x+ax+b,使实数p、q适合于ap=2(b+q)
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(1)证明:抛物线y=x+px+q通过定点;
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(2)证明:下列两个二次方程,x+ax+b=0与x+px+q=0中至少有一个方程有实数解.
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