第1讲 空间几何体
[考情考向分析] 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．
热点一 三视图与直观图 1．一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
2．由三视图还原几何体的步骤
一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体．
例1 (1)(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
答案 A
解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.
(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．
1
答案 2＋
2 2
解析 如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，
则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝而四边形AECD为矩形，AD＝1， ∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝由此可还原原图形如图所示．
2
＋1. 2
2. 2
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
1
∴这块菜地的面积为S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′
21?22?
＝×?1＋1＋?×2＝2＋. 2?22?
思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑．
跟踪演练1 (1)(2018·衡水调研)某几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，则其侧(左)视图可以为( )
2
＋1， 2
2
答案 B
解析 由俯视图与正(主)视图可知，该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱，因此其侧(左)视图为矩形内有一条虚线，虚线靠近矩形的左边部分，只有选项B符合题意，故选B. (2)(2018·合肥质检)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为( )
答案 C
解析 取AA1的中点H，连接GH，则GH为过点E，F，G的平面与正方体的面A1B1BA的交线． 延长GH，交BA的延长线与点P，连接EP，交AD于点N，则NE为过点E，F，G的平面与正方体的面ABCD的交线．
同理，延长EF，交D1C1的延长线于点Q，连接GQ，交B1C1于点M，则FM为过点E，F，G的平面与正方体的面BCC1B1的交线．
所以过点E，F，G的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN.
故可得位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为选项C所示．
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热点二 几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧． 例2 (1)(2018·百校联盟联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．8＋42＋85 C．8＋202 答案 A
解析 由三视图可知，该几何体的下底面是长为4，宽为2的矩形，左右两个侧面是底边为2，高为22的三角形，前后两个侧面是底边为4，高为5的平行四边形，所以该几何体的表面1
积为S＝4×2＋2××2×22＋2×4×5＝8＋42＋85.
2
(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．
B．24＋42 D．28
答案
14
π 6＋(6＋13)π 3
解析 由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为V14111432
＝×π×2＋×π×2×3＝π， 43233
111112222表面积为S＝×4π×2＋×π×2＋×4×3＋××2π×2×3＋2＝6＋(6＋13)42222π.
思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和． (2)求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，常用转换法、分
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割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
跟踪演练2 (1)(2018·齐鲁名校教科研协作体模拟)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6立方寸，则图中的x为( )
A．1.6 B．1.8 C．2.0 D．2.4 答案 A
解析 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．
?1?2
由题意得，(5.4－x)×3×1＋πx??＝12.6，
?2?
解得x＝1.6.
(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A．11 B．9 C．7 D．5 答案 D
解析 由三视图知，该几何体如图，它可分成一个三棱锥E－ABD和一个四棱锥B－CDEF，则
V＝××3×3×2＋×1×2×3＝5.
131213
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2020高考数学二轮复习 专题四 立体几何与空间向量 第1讲 空间几何体学案 理
