四川理工学院数学系 课程设计任务书
专业： 信息与计算科学
班级： 信息与计算科学2012级1班
课程名称： 微分方程数值解课程设计
学生姓名： 陈古月 陈镜 李明轩 赵树微 黄冲冲
发题时间： 2015 年 4 月 27 日
一、课题名称
显式Euler方法和改进Euler方法的精度。 二、课题条件 参考文献：
[1].张平文，李铁军. 数值分析. 北京：北京大学出版社，2009. [2].徐瑞，黄兆东，阎凤玉.Matlab 科学与工程分析.北京：科学出版社，2007.
[3].曾金平，杨余飞，关力. 微分方程数值解. 北京：科学出版社，2011. 三、设计任务
分别用显式Euler方法和改进Euler方法求解下列微分方程：
22??y?t??y?t??sin??t???sin??t??1???y?0??1
t?0,50?yt?cos??t? 模拟区间为?。 上述方程的真解为??。参数?分别取为??0.8,2,5,8， 步长分别取为
h??t,?t?t?t?t?t?t?t?t,,,,,,,248163264128256（其中?t?0.1）。
要求
画出每一个?参数、每一种步长情况下数值解和真解之间差的绝对值，
50??Err?yn?y?tn?,n?1,2,,N?其中N??h?； ?即
对于每一个参数?，列表说明显式Euler方法和改进Euler方法的阶
maxyn?y?tn?1?n?5/h?1maxyn?y?tn??h?1?n?5/???2?为1，即步长为h和h/2时的全局误差之比： ⑶、给出程序清单。必须说明程序中哪些是主程序，哪些是子程序；
程序中必须有详细的注释和参数说明；必须简明扼要地说明如何运行程序。
问题求解：
一， 工具：Matlab数学软件
二，分析：
用Euler公式y n+1= yn+h f(xn,yn)求数值解的方法成为Euler方法。
三，算法及求解过程 算法： 1． 2． 3．
输入函数f(x,y)、初值y0、自变量区间端点a,b步长h 计算节点数n和节点x k
用Euler公式y n+1= yn+h f(xn,yn) 求数值解
Euler方法程序
Clear[x,y,f]
f[x_,y_]= Input[\函数f(x,y)=\y0=Input[\初值y0 =\a=Input[\左端点a=\b=Input[\右端点b=\h=Input[\步长h=\n=(b-a)/h; For[i=0,i y1=y0+h*f[xk,y0]; Print[\y0=y1] 程序中变量说明 f[x,y]: 存放函数f(x,y) y0: 存放初值y0及数值解 a：存放自变量区间左端点 b: 存放自变量区间右端点 n: 存放节点个数 h: 存放节点步长 xk：存放节点xi y1: 存放数值解 注：（1）语句Print[\是将数值解用6位有效数字显示出来，如果要显示n位数有效数字，可以将语句改为Print[\ （2）Mathematica中有求微分方程初值问题数值解的命令，形式为: NDSolve[ {y’[x]==f[x,y[x]],y[a]==y0}, y, {x, a, b}] 由NDSolve命令得到的解是以{{未知函数名->InterpolatingFunction[range, <>]}}的形式给出的,其中的 InterpolatingFunction[range, <>]是所求的插值函数表示的数值解, range就是所求数值解的自变量范围。 执行程序： 执行Euler方法程序后，在输入的窗口中按提示分别输入y-2x/y、1、0、1、0.1，每次输入后用鼠标点击窗口的“OK”按扭，计算机在屏幕上给出如下数值解结果。 y(0.1)=1.1 y(0.2)=1.19182 y(0.3)=1.27744 y(0.4)=1.35821 y(0.5)=1.43513 y(0.6)=1.50897 y(0.7)=1.58034 y(0.8)=1.64978 y(0.9)=1.71778 y(1.)=1.78477 本题的准确解为y(x)= (1 + 2 x)1/2，在一个坐标系中画出数值解与准确解的图形如下。 图中点图是数值解，曲线为准确解。从图中可以知道数值解与准确解比较接近，但还是有误差的。 由于Euler方法的计算精度不高，在实用中我们一般不使用此算法。 改进的Euler方法算法 1. 输入函数f(x,y)、初值y0、自变量区间端点a,b步长h 2.计算节点数n和节点x k 3.用改进的Euler公式求数值解 改进的Euler方法程序
微分方程数值解课程设计第二组
