2013届高三数学章末综合测试题（15）平面解析几何（1）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知圆x＋y＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是( )
A．D＋E＝2
C．D＋E＝－1
B．D＋E＝1
D．D＋E＝－2X k b 1 . c o m
[来22
解析 D 依题意得，圆心?－，－?在直线x＋y＝1上，因此有－－＝1，即D2?22?2＋E＝－2.
2．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )
A．(x＋1)＋(y＋1)＝2 C．(x＋1)＋(y＋1)＝8
2
2
2
2
?DE?
DEB．(x－1)＋(y－1)＝2 D．(x－1)＋(y－1)＝8
2
2
22
解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x－1)＋(y－1)＝2.
3．已知F1、F2是椭圆＋y＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最
4大值的点P为( )
A．(－2,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,1)和(0，－1)
解析 D 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|·|PF2|≤?
2
2
x2
2
?|PF1|＋|PF2|?2＝4，
?2??
当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．
4．已知椭圆＋＝1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若连接F1、F2、P三点
1625恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是( ) 16
B．3 C.
3
π
解析 A 椭圆＋＝1的焦点分别为F1(0，－3)、F2(0,3)，易得∠F1PF2<，∴16252ππxpyp∠PF1F2＝或∠PF2F1＝，点P到y轴的距离d＝|xp|，又|yp|＝3，＋＝1，解得|xP|
22162516
＝，故选A. 5
2
2
x2y2
x2y2
5．若曲线y＝x的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x＋y＋4＝0 C．4x－y－12＝0
B．x－4y－4＝0 D．4x－y－4＝0
2
解析 D 设切点为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0， ∴2x0＝4，即x0＝2， ∴切点为(2,4)，方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
6．“m>n>0”是“方程mx＋ny＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11
解析 C 方程可化为＋＝1，若焦点在y轴上，则>>0，即m>n>0.
11nm2
2
x2y2mnx2y22
7．设双曲线2－2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x＋1只有一个公共点，则双曲线的离
ab心率为( )
B．5 C.5
2
解析 D 双曲线的渐近线为y＝±x，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点
bay＝x＋1，??
即可由?by＝x，??a2
得x－x＋1＝0.
2
bab222
∴Δ＝2－4＝0，即b＝4a，∴e＝5.
a
→→
8．P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则PF1·PF2
43＝( )
A．3 C．23
D．2
x2y2
60°1→→2
解析 D ∵S△PF1F2＝btan＝3×tan 30°＝3＝|PF1|·|PF2|·sin 60°，
221→→→→
∴|PF1||PF2|＝4，∴PF1·PF2＝4×＝2.
2
x2y212
9．设椭圆2＋2＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y＝8x的焦点相同，离心率为，则mn2
此椭圆的方程为( )
＋＝1 16＋＝1 64
y2y2
＋＋
＝1 12＝1 48
y2y2
c＝2，??
解析 B 抛物线的焦点为(2,0)，∴由题意得?c1
＝，??m2
∴m＝4，n＝12，∴方程为＋＝1.
1612
2
x2y2
10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )
C．2
D．3
x2y2x2y2
解析 B 设双曲线C的方程为2－2＝1，焦点F(－c，0)，将x＝－c代入2－2＝
ababb4b2c222222
1可得y＝2，∴|AB|＝2×＝2×2a，∴b＝2a，c＝a＋b＝3a，∴e＝＝3.
aaa2
x2y2
11．已知抛物线y＝4x的准线过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左顶点，且此双曲线的
ab2
一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距为( )新 课 标 第 一 网
[来
2
B．25 D．23
x2y2
解析 B ∵抛物线y＝4x的准线x＝－1过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左顶点，
ab∴a＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，∴
bab＝2，∴c＝a2＋b2＝5，∴双曲线的焦距为25.
x22
12．已知抛物线y＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－ya2
＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为( )
2
解析 A 由于M(1，m)在抛物线上，∴m＝2p，而M到抛物线的焦点的距离为5，
根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－的距离也为5，∴1＋＝5，∴p＝8，由此
224
可以求得m＝4，双曲线的左顶点为A(－a，0)，∴kAM＝，而双曲线的渐近线方程为
1＋appy＝±
x411，根据题意得，＝，∴a＝.
9a1＋aa二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(a∈R)，则l1⊥l2的充要条件是a＝________.
解析 l1⊥l2?a·1
【答案】
3
14．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x＋y＝4交于A，B两点，|AB|＝22，则实数k＝________.
解析 ∵|AB|＝22，圆O半径为2，∴O到l的距离d＝2－2＝2.即
14
. 7
14 7
2
2
2
2
2
21＝－1，解得a＝. a－13
|3k|
2＝2，
k＋1
解得k＝±
【答案】 ±15．过原点O作圆x＋y－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．
解析 如图，圆的方程可化为 (x－3)＋(y－4)＝5，
∴|OM|＝5，|OQ|＝25－5＝25. 在△OQM中，
11
|QA|·|OM|＝|OQ|·|QM|， 2225×5∴|AQ|＝＝2，∴|PQ|＝4.
5【答案】 4
→→→
16．在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝22，则顶点A的轨迹方程为________．
解析 以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两
2
2
个切点．
则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|， |AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝22，
∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，∴b＝2，∴方程为－＝1(x>2)．
22
【答案】
x2y2
x2y2
2
－＝1(x>2) 2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在平面直角坐标系中，已知圆心在直线y＝x＋4上，半径为22的圆C经过原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程． 解析 (1)设圆心为(a，b)，
?b＝a＋4，则?2
?a＋b2＝22，
2
解得?
?a＝－2，???b＝2，
2
故圆的方程为(x＋2)＋(y－2)＝8.
(2)当斜率不存在时，x＝0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，则弦长为4，符合题意； 当斜率存在时，设直线为y－2＝kx，
?－2k?2
则由题意得，8＝4＋?2?，无解．
?1＋k?
综上，直线方程为x＝0.
18．(12分)(2011·合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0)和F2(3，0)，且椭圆过点?1，－
??3??. 2?
(1)求椭圆方程；
?6?(2)过点?－，0?作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试?5?
判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．
x2y2
解析 (1)设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，
aba－b＝3，??3??
由c＝3，椭圆过点?1，－?可得?13
2??2＋2＝1，??a4b2
2
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解析几何测试题及答案解析
