江苏省苏州市 2024—2024 学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷
高三数学试题
2024．01
一、填空题 （本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案
填写在答题卡相应的位置上 ．）
．．．．．．．．． 1．已知集合 A ＝
x x 1 ， B＝ { ﹣ 1， 0，1， 4} ，则 A B＝
．
．
2．已知 i 是虚数单位，复数
率为
．
z＝ (1＋ bi)(2 ＋ i) 的虚部为 3，则实数 b 的值为
3．从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概 4．为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的
车辆数，得到以下频率分布直方图（如图） 则在 [8， 9)之间通过的车辆数是 5．如图是一个算法流程图，若输入的
．
x 值为 5，则输出的 y 值为
．
，已知在 [5， 7)之间通过的车辆数是
440 辆，
第 4 题
第 5 题
第 9 题
6．已知等比数列 an 中， a1 0 ，则“ a1 ＜ a2 ”是“ a3 ＜ a5 ”的 分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要” 7．在平面直角坐标系 xOy 中，己知点 F1， F2 是双曲线
条件．（填“充 ）
x2y2
1 (a＞ 0，b＞ 0)的左、右焦
a2 b2
点，点 P 的坐标为 (0， b)，若∠ F1PF2＝ 120°，则该双曲线的离心率为
．
x 0
8．若 x， y 满足约束条件 x y
0
，则 z＝ x＋3y 的最大值为
．
x y
1 0
9．如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆
锥底面半径相同， 已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 则该冰淇淋的体积是 圆O： 2
2 ，弧长为 4 cm 的扇形， 5
cm3．
10．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 x＋my＋ m＋ 2＝0(m
R)上存在点 P，使得过点 P 向
2
作切线 （切点为 PA
），满足 A
x
为
y
．
2
＝ 2 ，则实数 的取值范围 PO PA m
1
11．在平面直角坐标系
xOy 中，已知直线 l： y
1 2
与函数 f ( x)
sin( x) (
＞ 0)的图
6
象在 y 轴右侧的公共点从左到右依次为 的横坐标为 ． 12．如图，在平面四边形
A 1， A 2，?，若点 A 1 的横坐标为 1，则点 A 2
ABCD 中，已知 AD ＝ 3，BC ＝4， E，
F 为 AB ， CD 的中点， P，Q 为对角线 AC ，BD 的中点，则
PQ EF 的值为
．
13．已知实数 x， y 满足 x( x y)
值为
1 2 y2 ，则 5x2 4 y2 的最小
．
第12题
ex
14．已知函数
， x 2
f (x)
ex
4x8
， x 2
5x
（其中 e 为自然对数的底数） ，若关于 x 的方程
f 2 ( x) 3a f ( x)
二、解答题 （本大题共
2a2
0 恰有 5 个相异的实根，则实数
a 的取值范围为 ．
6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域 内作答，解答应写出文字
．．．．．．．
说明，证明过程或演算步骤． ）
15．（本题满分 14 分）
已知向量 a ＝ (sinx，
3
) ，
b ＝ (cosx，﹣ 1)．
4
（ 1）当 a ∥ b 时，求 tan2x 的值；
（ ）设函数 f (x) 2(a b) b ，且 x
2
(0 ，
2
)，求 f (x) 的最大值以及对应的
x 的值．
16．（本题满分 14 分）
如图，在三棱柱 ABC —A 1B1C1 中， CA ＝CB ， D ，E 分别是 AB ， B1C 的中点． （ 1）求证： DE∥平面 ACC 1 A 1； （ 2）若 DE⊥ AB ，求证： AB ⊥B 1C．
2
17．（本题满分 14 分）
为响应“生产发展、 生活富裕、 乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建
设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地
( 如图 ) 租给蜂农养蜂、 产蜜与售蜜． 已知扇形 AOB
中，∠ AOB ＝
2
，OB ＝ 2 3 (百米 )，荒地内规划修建两条直路 AB ，OC，其中点 C 在 AB
3
上 (C 与 A ，B 不重合 )，在小路 AB 与 OC 的交点 D 处设立售蜜点， 图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区．设∠ BDC ＝ ，蜂果区的面积为 S(平方百米 ) ．
（ 1）求 S 关于
的函数关系式；
（ 2）当 为何值时，蜂巢区的面积 S 最小，并求此时 S 的最小值．
18．（本题满分 16 分）
如图， 定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象
限内一点 P 作 x 轴的垂线交其“辅圆”于点
“上辅点”．已知椭圆 E：
Q，当点 Q 在点 P 的上方时，称点
Q为点 P的
x2
a2
（ 1）求椭圆 E 的方程；
y2 b2
1(a＞ b＞0) 上的点 (1，
3 )的上辅点为 (1， 3 )． 2
（ 2）若△ OPQ 的面积等于 ，求上辅点 Q 的坐标；
1
2
（ 3）过上辅点 Q 作辅圆的切线与 x 轴交于点 T，判断直线 PT 与椭圆 E 的位置关系，并证明你的结论．
3
苏州市2024—2024学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷
