www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台2005年北京市第20届“迎春杯”数学竞赛试题及详解1．计算：(?【答案】?21
179111315
????)?23?21的值为多少?31220304256【解析】原式=?
?13?44?55?66?77?8????????8?21?33?44?55?66?77?8?
?11111111111?
??????????????8?21?33445566778??1?
?????8?21?8???21。2．已知多项式ax?x?3x?b2x?x?x?5是关于x的二次多项式，当x?2时，多项式的值为?17，那么当x??2时，多项式的值为多少?【答案】?1
【解析】合并同类项，得原式?(a?1)x?(?a?2b)x?(3a?b)x?5,由题意，原式是关于x的二次多项式，则?
3
2
?32
??2
?3
?a?1?0
，得a??1，2b?1?0。??a?2b?0
2
将a??1代入原式，得原式?(2b?1)x?(b?3)x?5,将x?2，多项式值??17代入，得(2b?1)?22?(b?3)?2?5??17，求得b??1，故原式??x2?4x?5，当x??2时，有原式?(?2)?4?(?2)?5??1。2
【评注】考查整式的化简与求值。3.下面是一个按照某种规律排列的数阵11/7www.100xuexi.com圣才电子书4712813十万种考研考证电子书、题库视频学习平台1516………25103611914………………………根据你猜想的规律，2005应该排在：①多少行?②在该行上从左向右数的第几个数?【答案】①45；②69。【解析】通过观察可知：（a）第n排有2n?1个数；（b）第n排末尾的数是n；2
估算2005在哪两个完全平方数之间，得44?1936?2005?2025?45。所以2005在第45排中间，位列从左至右2005?1936?69，即第69位。所以，答案为①45，②69。【评注】本题关键是通过观察可得出：（a）第n排有2n?1个数；（b）第n排末尾的数是n
2
22
4.已知：有理数x，y，z，满足xy?0，yz?0，并且x?3，y?2，z?1?2．求x?y?z的值。【答案】0或?2
【解析】由已知可得x，y异号，y，z同号。由z?1?2?z?1??2
?z1??3???
z?1?2?y1??2?x1?3
???
y?2?2?x2??3
将x1?3，y1??2，z1??3代入x?y?z，x?y?z?3?2?3??2将x2??3，y2?2，z2?1代入，得x?y?z??3?2?1?0
2/7www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台答案为0或?2。5.现有规格一样的一些圆环，已知圆环的内直径为6厘米，外直径为8厘米．如果将100个这样的圆环一个接一个地环套环连成一条链子，那么这条链子拉直后的长度为多少米?【答案】6.02【解析】两个相邻的圆环，如图，重叠部分为:2(R?r)?2(米）。86
?)?2?(4?3)?2（厘22
?6.02100个圆环，共有99个这样的圆环对，于是总长?100?8?99?2?602（厘米）（米）。6.右图是某地区的路线示意图，问从A点到B点最近的路线共有多少条?BA【答案】10【解析】要最近，则只能在每个转弯处选择向右或向上．那么共有十条，分别为“上上右右右”，“上右上上右右”，上右上右上右”，“右上上上上右右”，“右上上上右上右”，“右上右上上上右”，“右上右上右上上”，“右右上上上上右”，“右右上上右上”，“右右右上上”。3/7www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台【评注】本题关键是要知道要最近，则只能在每个转弯处选择向右或向上。7.如果整数m，n满足m?64，那么m?n的所有可能的值共有多少个?【答案】6【解析】因为64?2=m．若m,n都是正整数．则m?2，nk?6，n6。当n?6时，m?2，m?n?8当n?3时，m?4，m?n?7当n?2时，m?8，m?n?10当n?1时，m?64，m?n?65若n?0，设n??l（l为正整数），m?若m?0，n为偶数时，有解：n
6
n
k
n
1
?64，无解。mln?6，m??2，m?n?4，n?2，m??8，m?n??6。故m?n=－6，4，7，8，10，65，共有六种不同的值。8.已知：S?1?2?3?4?5?6???2001?2002?2003，求S被2005除得的余数。【答案】1【解析】解法一：222222222
A?S?20042?12?22?32?42?52?62???20012?20022?20032?20042
??(1?2)?(3?4)?(5?6)???(2003?2004)??(1?2?3?4???2003?2004)
??[(1?2004)?(2?2003)???(1002?1003)]
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2
2
所以，2005A?S?2004，即S?2004(mod2005)?(?1)(mod2005)（因为，因此，S?1(mod2005)，故S被2005除余1。20042?(2005?1)2）解法二：由a?b?(a?b)(a?b)得2
2
S?12?(32?22)?(52?42)?(72?62)???(20032?20022)?1?5?9??4001?4005
(5?4005)?1000?1?
2?1?2005?1000
所以S被2005除得的余数为1。【评注】等差数列的求和公式Sn?
n(a1?an)
。2
9.如图，在?ABC中，DC?2BD，AF?FD．如果?ABC的面积等于a，那么阴影部分的面积为多少?【答案】0.4a
【解析】连结ED，记S?ABC为?ABC的面积，因为AF?FD，?ACF与?CFD同高，?AEF与?EFD同高，所以S?ACF?S?CFD，S?AEF?S?EFD，因此S阴影?SAEC?SECD?S?BED?S阴影
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S?ECD?S阴影，所以，S?ABC?S?BED?S四边形AEDC?S阴影?a，故2222
?a?0.4a。5
1
S四边形AEDC2.又因为DC?2BD，所以，因此【评注】等底等高的两个三角形面积相等。5/7
2005年北京市第20届“迎春杯”数学竞赛试题及详解【圣才出品】
