第七章 三角函数
7．1 任意角的概念与弧度制7．1.1 角 的 推 广
1.了解角的概念的推广过程，理解任意角的概念. 2.认识终边相同的角并会简单表示.
3.通过学习，提高学生数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养.
知识点一 角的概念的推广 (一)教材梳理填空 1．角的概念
一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边． 2．角的分类
名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按照逆时针方向旋转而成的角 负角 一条射线绕其端点按照顺时针方向旋转而成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)小于90°的角都是锐角. ( ) (2)终边与始边重合的角为零角．( ) (3)大于90°的角都是钝角．( )
(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．下列说法正确的是( ) A．最大的角是180° C．角不可以是负的
B．最大的角是360° D．角可以是任意大小
解析：选D 由任意角的概念，知D正确．
3．在图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.
解析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°.
图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°. 答案：390° －150° 60° 知识点二 象限角 (一)教材梳理填空 象限角及终边相同的角
条件 象限角 终边相同的角 [微提醒] 角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，可称为轴线角． (二)基本知能小试 1．判断正误
(1)终边相同的角一定相等．( ) (2)－30°是第四象限角．( ) (3)第二象限角是钝角．( ) (4)225°是第三象限角．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．与610°角终边相同的角可表示为(其中k∈Z)( ) A．k·360°＋230° C．k·360°＋70°
B．k·360°＋250° D．k·180°＋270°
在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上 角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角 所有与角α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为α 解析：选B ∵610°＝360°＋250°，∴610°与250°角的终边相同，故选B.
3．与－1 560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．
解析：与－1 560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.
答案：240° －120°
题型一 与任意角有关的概念辨析
[学透用活]
解读任意角的概念
三个要素：顶点、始边、终边．
(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角． (2)对角的概念的认识，关键是抓住“旋转”二字． [典例1] (1)下列说法正确的是( ) A．第一象限的角一定是正角 B．三角形的内角不是锐角就是钝角 C．锐角小于90°
D．第二象限的角一定大于第一象限的角
(2)期末考试，数学科从上午8时30分开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了( ) A．360° C．－360°
B．720° D．－720°
[解析] (1)－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角可能是90°，所以B错误；锐角小于90°，C正确；45°是第一象限角，－200°是第二象限角，但45°>－200°，所以D错误．故选C.
(2)因为分针转一圈(即1小时)是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.故选D. [答案] (1)C (2)D [方法技巧]
判断角的概念问题的关键与技巧
关键 技巧
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念 判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可 [对点练清]
1．设集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )
A．A＝B C．A＝C
B．B＝C D．A＝D
解析：选D 集合A中锐角θ满足0°＜θ＜90°；集合B中θ＜90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°＜θ＜90°.故A＝D.
2．写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．
解：题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；
题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°. 题型二 象限角及终边相同的角
[学透用活]
[典例2] 在0°到360°的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角． (1)－736°；(2)405°.
[解] (1)∵－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角． ∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角． (2)∵405°＝360°＋45°，45°是第一象限角．
∴45°与405°是终边相同的角，且405°为第一象限角． [方法技巧]
(1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比
7.1任意角的概念与弧度制7.1.1 角 的 推 广
