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第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程

在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：0时，应满足（a≠0） 21.2 降次——解一元二次方程

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法：

用直接开平方法解形如()2 (n≥0)的方程，其解为± m. 直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果. 2、配方法

通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。

1.转化： 将此一元二次方程化为^20的形式(即一元二次方程的一般形式） 2.系数化1： 将二次项系数化为1 3.移项： 将常数项移到等号右侧

4.配方： 等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.变形： 将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.开方： 左右同时开平方

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7.求解： 整理即可得到原方程的根 3、公式法

公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△2-4的值，当b2-4≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式(b2-4≥0)就可得到方程的根。

因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

21.3 实际问题与一元二次方程

列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展 从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等． 第二十二章 二次函数 22.1二次函数及其图像

二次函数（ ）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

一般式 (a≠0、b、c为常数)，顶点坐标为(2a，(b2-4)/4a) ； 顶点式

()(a≠0、h、k为常数)或()(a≠0、h、k为常数)，顶点坐标为（h，k）对

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称轴为，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式； 交点式

(1)(2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ； 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小的绝对值越大开口就越小的绝对值越小开口就越大。

在平面直角坐标系中作出二次函数的平方的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 y 不同的二次函数图像

如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 轴对称

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = 2a。

x

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２

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线0） 顶点

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( 2a ，4)/4a )

当2a0时，P在y轴上；当Δ= b-4=0时，P在x轴上。 开口

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 越大，则抛物线的开口越小。 决定对称轴位置的因素

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4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- 2a<0,所以2a要大于0，所以a、b要同号

当a与b异号时（即＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- 2a>0, 所以2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时

即＜ 0 ），对称轴在y轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的

斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。 决定抛物线与y轴交点的因素 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c） 抛物线与x轴交点个数 6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b-4＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b-4=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b-4＜0时，抛物线与x轴没有交点。

当a>0时，函数在 2a处取得最小值,当a<0时，函数在 2a处取得最大值 当0时，抛物线的对称轴是y轴， 7.特殊值的形式

①当１时 ②当1时 ③当2时 4a2 ④当2时 4a2

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用函数观点看一元二次方程

2y?ax?bx?c与1. 如果抛物线

x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x?x0时，

函数的值是0，因此x?x0就是方程ax2?bx?c?0的一个根。

2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。 实际问题与二次函数

在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。 第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 1. 图形的旋转

（1）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。

（2）生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等；另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。

（3）图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。

（4）会找对应点，对应线段和对应角。 2. 旋转的基本特征：

（1）图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

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