课后限时集训53
椭圆及其性质 建议用时：45分钟
一、选择题
x2y21
1．(2019·北京高考)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，则( )
ab2
A．a＝2b C．a＝2b
2
2
B．3a＝4b D．3a＝4b
22
c1c21a2－b21
B [由题意，＝，得2＝，则2＝，
a2a4a4
∴4a－4b＝a，即3a＝4b.故选B.]
2
2
2
2
2
y2
2．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
2－k2k－1
x2
?1?A．?，2? ?2?
C．(1,2)
2－k＞0，??
C [由题意得?2k－1＞0，
??2k－1＞2－k，解得1＜k＜2.故选C.]
B．(1，＋∞)
?1?D．?，1?
?2?
?3?3．椭圆C的一个焦点为F1(0,1)，并且经过点P?，1?，则椭圆C的标准方程为( ) ?2?
A．＋＝1
43C．＋＝1
32
x2y2x2y2
B．＋＝1
32D．＋＝1
43
y2x2y2x2
y2x2
D [由题意可设椭圆C的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，且另一个焦点为F2(0，－1)，
ab所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝
所以a＝2，又c＝1， 所以b＝a－c＝3.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.故选D.]
43
2
2
2
?3?2＋1－1?2???
2
＋
?3?2＋1＋1?2???
2
＝4.
y2x2
4．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为( )
A．3－2 C．
2 2
B．3－1 D．
3 2
B [设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设|F1F2|＝2c，则|DF1|＝c，|DF2|＝3c.由椭圆定义，得2a＝|DF1|＋|DF2|＝3c＋c，所以e＝＝23＋1
＝3－1，故选B.]
ca5．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另
3外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．23 C．43
B．6 D．12
x2
2
C [由椭圆的方程得a＝3.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝43.]
二、填空题
x2y222
6．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x＋y－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，
ab则椭圆的左顶点为________．
(－5,0) [∵圆的标准方程为(x－3)＋y＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝b＋c＝5.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]
7．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第
3620一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．
(3，15) [不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝36－20＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，＋＝1，3620??x＋4＋y＝64，则?x＞0，??y＞0，
2
2
2
2
2
2
x2y2
x2y2
?x＝3，
得?
?y＝±15，
又因为点M在第一象限，所以M的坐
标为(3，15)．]
→→
8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
→→2??
?0，? [满足MF1·MF2＝0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，
2??
则有c＜b，即c＜b，又b＝a－c，所以c＜a－c，
1222
即2c＜a，所以e＜，又因为0＜e＜1，
2所以0＜e＜三、解答题
9．已知点P是圆F1：(x＋1)＋y＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．求点M的轨迹C的方程．
[解] 由题意得F1(－1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4，
且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|， 所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆， 其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为3， 所以点M的轨迹方程为＋＝1.
43
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2.] 2
x2y2
x2y2
10．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为Cab上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围． [解] (1)连接PF1(图略)，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c，故C的离心率为e＝＝3－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当 1yyxy|y|·2c＝16，·＝－1，2＋2＝1， 2x＋cx－cab即c|y|＝16，
2
2
2
2
2
ca① ② ③
x2＋y2＝c2， x2y2
＋＝1. a2b2
b4
由②③及a＝b＋c得y＝2.
c2
162
又由①知y＝2，故b＝4.
ca222
由②③及a＝b＋c得x＝2(c－b)，
c2
2
2
2
所以c≥b，从而a＝b＋c≥2b＝32，
故a≥42.当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P. 所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞)．
1．已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M43关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝( )
A．4 C．12
B．8 D．16
222222
x2y2
B [设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，
F2，如图，
连接DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所11
以F1D是△MAN的中位线，则|DF1|＝|AN|，同理|DF2|＝|BN|，
22
所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.]
2.2016年1月14日，国防科工局宣布，“嫦娥四号”任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点
P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星
在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2. 其中正确式子的序号是( ) A．①③ C．②③
B．①④ D．②④
c1c2
a1a2
D [观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0知，
a1－c1a2－c2a1a2c1c2
<，即<，从而c1a2>a1c2，>，即④式正确，c1c2c1c2a1a2
③式不正确．故选D.]
3．(2019·三明模拟)已知△ABC的顶点A(－3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆＋
25165sin C＝1上，则＝________.
sin A＋sin B3 [由椭圆方程＋＝1，得长轴长2a＝10，短轴长2b＝8，
2516焦距2c＝6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点．
在△ABC中，|AB|＝6，|BC|＋|AC|＝10，
5sin C5|AB|5×6
由正弦正理可得，＝＝＝3.]
sin A＋sin B|BC|＋|AC|10
x2y2
x2y2
x2y2
4．(2109·山西太原一模)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，
abA，B分别是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且△PF1F2的周长为6，若△PF1F2面积
的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同的点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上．
2a＋2c＝6，??1
[解] (1)由题意得?×2bc＝3，
2??a＝b＋c，
2
2
2
x2y2
?
∴?b＝3，?a＝2，
N(x2，y2)，
c＝1，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
43
(2)由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，F2(1,0)，设直线MN的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，
x＝my＋1，??22由?xy＋＝1??43
得(4＋3m)y＋6my－9＝0，
22
6m93∴y1＋y2＝－2，y1y2＝－2，∴my1y2＝(y1＋y2)，
4＋3m4＋3m2∵直线AM的方程为y＝∴
(x＋2)，直线BN的方程为y＝(x－2)，
x1＋2x2－2
y1y2
y2x＋2y2
(x＋2)＝(x－2)，∴＝x1＋2x2－2x－2y1
y1
x1＋2my1y2＋3y2
＝＝3，
x2－2my1y2－y1
2021高考数学一轮复习课后限时集训53椭圆及其性质理北
