东北大学线性代数_第六章课后习题详解二次型
教学基本要求：
1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念. 2.了解合同变换和合同矩阵的概念.
3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法. 4.了解惯性定理.
5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法.
第六章 二次型
本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型.
“研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？ 二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类.
通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等.
一、二次型与合同变换 1. 二次型
n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数 f(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2
+2a12x1x2+…+2a1nx1xn+…+…+2an-1 nxn-1xn (6.1)
称为一个n元二次型.当系数aij均为实数时，称为n元实二次型. (P131 定义6.1)
以下仅考虑n元实二次型.
?a11?a12设A?????a1na12a22a2na1n??x1????a2n?x,x??2?，那么 ??????ann??xn?f(x1,x2,…,xn)=xTAx. (6.2)
式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示.
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例6.1(例6.1 P132)
二次型f与对称矩阵A一一对应，故称A是二次型f的矩阵，f是对称矩阵A的二次型，且称A的秩R(A)为二次型f的秩. (定义6.2 P132)
由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵.
定义6.2 仅含平方项的二次型
f(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2 (6.3)
称为标准形.系数a11,a22,…,ann仅取-1,0,1的标准形称为规范形. (定义6.3 P132)
标准形的矩阵是对角矩阵.
二次型有下面的结论：
定理6.1 线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变. (定理6.1 P133) 这是因为
x?Cyf?xAxA?B?CTACR(A)?R(B)T??fB?CTAC?yTBy.
C?0
2. 合同变换
在可逆线性变换下，研究前后的二次型就是研究它们的矩阵的关系.
定义6.3 设A,B是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C，使B=CTAC，则称A与B是合同的，或称矩阵B是A的合同矩阵.对A做运算CTAC称为对A进行合同变换，并称C是把A变为B的合同变换矩阵. (定义6.4 P133)
矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.
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注意：(1)合同的矩阵(必须是方阵)必等价，但等价的矩阵(不一定是方阵)不一定合同. (P134)
A与B合同 ?A与B等价 ??可逆矩阵C，?B=CTAC ?可逆矩阵P,Q，?B=PAQ
(2)合同关系不一定是相似关系，但相似的实对称矩阵一定是合同关系. (推论1 P137)
正交矩阵Q，?Q-1AQ= QTAQ=B ? A与B既相似又合同
合同变换的作用：对二次型施行可逆线性变换等价于对二次型的矩阵施行合同变换.
f?xAx Tx?Cy C?0?yCACy?yTBy
TT? C?0 A ? CTAC?B如果B是对角矩阵，则称f=yTBy是f=xTAx的标准形.
二、用正交变换化二次型为标准形 1. 原理
由第五章第三节知：对于实对称阵A，存在正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵(对角线上的元素为A的n个特征值).因此，二次型f=xTAx经正交变换x=Qy就能化为标准形f=yT(QTAQ)y=yT(Q-1AQ)y.
定理6.2 任意实二次型都可经正交变换化为标准形，且标准形中的系数为二次型矩阵的全部特征值. (定理6.2 P134)
推论1 任意实对称矩阵都与对角矩阵合同. (推论1 P137)
推论2 任意实二次型都可经可逆线性变换化为规范形. (推论2 P137)
正交变换既是相似变换又是合同变换.相似变换保证矩阵有相同的特征值，化标准形则必须经合同变换.所以，正交变换是能把二次型化为“系数为特征值”的标准形的线性变换.
2.用正交变换化二次型为标准形的步骤
用正交变换化二次型f=xTAx为标准形的过程与将实对称阵A正交相似对角化的过程几乎一致.具体步骤如下：
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(1)求出A的全部互异特征值λ1,λ2…,λs；
(2)求齐次线性方程组(λiE-A)x=ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A的n个线性无关特征向量)； (3)将每一个基础解系分别正交化、规范化，得到n个正交规范的线性无关特征向量ε1,ε2,…,εn； (4)正交相似变换矩阵Q=(ε1,ε2,…,εn)，正交相似变换x=Qy把二次型f=xTAx变为标准形f=yT(QTAQ)y.
例6.2(例6.2 P134) 例6.3(例6.3 P135)
三、用配方法化二次型为标准
除了正交变换，事实上，还存在其它的可逆线性变换能把二次型化为标准形.举例说明如下.
例6.4(例6.4 P139) 例6.5(例6.5 P139)
总结：用配方法化二次型为标准形的过程分两种情形： (1)二次型中含有平方项
例如，若二次型中含有平方项a11x12，则把所有含x1的项集中起来配方，接下来考虑a22x22，并类似地配方，直到所有项都配成了平方和的形式为止.
(2)二次型中不含平方项，只有混合项
例如，若二次型中不含平方项，但有混合项2a12x1 x2，则令
?x1?y1?y2,? ?x2?y1?y2,?x?y,i?3,...,n.i?i那么关于变量y1,y2,…,yn的二次型中就有了平方项，然后回到(1).
四、正定二次型 1. 惯性定理
虽然把二次型化为标准形的可逆线性变换不唯一，从而标准形也可能不唯一，但同一个二次型的所有标准形却总满足如下惯性定理.
定理6.3(惯性定理) 设实二次型f=xTAx的秩为r，且在不同的可逆线性变换x=Cy和x=Dy下的标准形分别为
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f=λ1y12+λ2y22+…+λryr2, λi≠0，
f=μ1y12+μ2y22+…+μryr2, μi≠0，
则λ1,λ2…,λr与μ1,μ2…,μr中正数的个数相同. (定理6.3 P142)
定义6.4 二次型f的标准形中的正(负)系数的个数称为f的正(负)惯性指数. (定义6.5 P143)
惯性定理指出，可逆变换不改变惯性指数.
推论 n阶实对称阵A与B合同的充分必要条件是A与B有相同的正惯性指数和负惯性指数. (推论 P143)
正惯性指数+负惯性指数=R(A). 正惯性指数=正特征值的个数， 负惯性指数=负特征值的个数.
2. 二次型的分类
二次型(/二次型的矩阵)的分类：(定义6.6-6.7 P143)
? f/A正定??f/A半正定?? f/A负定?f/A半负定?? f/A不定?
3.正定二次型(正定矩阵)的判定
?f?0,?x?0(A正定记作A?0)?f?0,?x?0(A半正定记作A?0)?f?0,?x?0(A负定记作A?0)?f?0,?x?0(A半负定记作A?0)??x?0,?f(x)?0且?y?0,?f(y)?0
由此，根据惯性定理可知，合同变换不改变实对称矩阵的类型.
定理6.4 n元实二次型f=xTAx为正定(负定)二次型的充分必要条件是f的正(负)惯性指数等于n. (定理6.4 P143)
定理6.5 n元实二次型f=xTAx为半正定(半负定)二次型的充分必要条件是f的正(负)惯性指数小于n，
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