圆锥曲线解题方法技巧
第一、知识储备： 1. 直线方程的形式
（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率k?tan?,??[0,?) k?y2?y1
x2?x1②点P(x0,y0)到直线Ax?By?C?0的距离 d?Ax0?By0?CA?B22
③夹角公式：直线（3）弦长公式
l1:y?k1x?b1l2:y?k2x?b2 夹角为?， 则tan??k2?k1
1?k2k1直线y?kx?b上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离 ①AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2②AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]
1y1?y2 k2③AB?1?（4）两条直线的位置关系 （Ⅰ）
l1:y?k1x?b1l2:y?k2x?b2
①l1?l2?k1k2=-1 ② l1//l2?k1?k2且b1?b2
（Ⅱ）
l1:A1x?B1y?C1?0l2:A2x?B2y?C2?0
①l1?l2?A1A2?B1B2?0
② l1//l2?A1B2-A2B1=0且AC12-A2C1?0或两平行线距离公式
A1B1C1??者（A2B2C2?0） A2B2C2?l1:y?kx?b1|b1?b2|d? 距离 ?21?k?l2:y?kx?b2二、椭圆、双曲线、抛物线：
?l1:Ax?By?C1?0|C1?C2|d? 距离 ?22A?B?l2:Ax?By?C2?0椭圆 双曲线 抛物线
1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0 1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1） 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}. 与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 定义 轨迹条件 点集{M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}. 图形 标准方 方程 程 x2y2?2?1(a?b>0) 2abx2y2?2?1(a>0,b>0) 2aby2?2px 参数方程 ?x?acos??y?bsin? ?(参数?为离心角）─a?x?a，─b?y?b 原点O（0，0） (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b ?x?asec??y?btan? ?(参数?为离心角）|x| ? a，y?R 原点O（0，0） ?x?2pt2?y?2pt(t为参数) ?x?0 范围 中心 顶点 (a,0), (─a,0) x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. (0,0) 对称轴 x轴 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) pF(,0) 2准 线 a2x=± c准线垂直于长轴，且在椭圆外. a2x=± c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. 2c （c=a?b） 22x=-p 2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等. 焦距 2c （c=a?b） 22离心率 e?c(0?e?1) ae?c(e?1) ae=1 P(x0，y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点 焦半径 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 【备注1】双曲线： ⑶等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2. x2y2⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2?2??与 abx2y2x2y2?2???互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：2?2?0. 2abab p 2P在右支时： P在左支时： |PF1|=a+ex0 |PF1|=-a-ex0 |PF2|=-a+ex0 |PF2|=a-ex0 |PF|=x0+⑸共渐近线的双曲线系方程：它的双曲线方程可设为【备注2】抛物线： x2a2?x2a2?y2b2??(??0)的渐近线方程为 x2a2?y2b2?0如果双曲线的渐近线为 xy??0时，aby2b2??(??0). pp2,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线y=-2px(p>0)的焦点坐22pppp2标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线x=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=- ，开 2222（1）抛物线y=2px(p>0)的焦点坐标是( 2口向上； pp），准线方程y=，开口向下. 22p22（2）抛物线y=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF?x0?；抛物线y=-2px(p>0)上的点M(x0,y0) 2p与焦点F的距离MF??x0 2pp2（3）设抛物线的标准方程为y=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点 22抛物线x=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-2到准线的距离为p. （4）已知过抛物线y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)， 2p2p2p2yy??pxx?,AF?x?则弦长AB=x1?x2+p或AB?(α为直线AB的倾斜角)，，(AF12121242sin?叫做焦半径). 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。 解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3. y2x2 所以椭圆的标准方程是＋＝1. 43 2．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝5－1＝24.∴椭圆的标准方程为＋＝1. 2524 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 2x2y2 0?，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例：1. 椭圆的一个顶点为A?2，分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 0?为长轴端点时，a?2，b?1， 解：（1）当A?2，x2y2??1； 椭圆的标准方程为：410?为短轴端点时，b?2，a?4， （2）当A?2，x2y2??1； 椭圆的标准方程为： 416三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 x2y2 例．求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 94 x2y29 解：因为c＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为2＋2＝1.由点(－3,2)在椭圆上知2＋ aa－5a4x2y22 ＝1，所以a＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. a2－51510 2 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例： 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x?y?1?0交于A、B两点，M为AB 中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． x22解：由题意，设椭圆方程为2?y?1， a?x?y?1?0?222??1?ax?2ax?0， 由?x2，得2?2?y?1?ax1?x21?a21?2，yM?1?xM?∴xM?， 22a1?a?kOMyMx2112??2?，∴a?4， ∴?y2?1为所求． 4xMa4五、求椭圆的离心率问题。 x2y21??1的离心率e?，求k的值． 例 已知椭圆 k?892 解：当椭圆的焦点在x轴上时，a?k?8，b?9，得c?k?1．由e?当椭圆的焦点在y轴上时，a?9，b?k?8，得c?1?k． 由e?2222221，得k?4． 211?k15?，即k??． ，得 2944 5∴满足条件的k?4或k??． 4 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1.若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。 解：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨 x2y2 方程为＋＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方 259x2y2x2y2 为＋＝1(y≠0)答案：＋＝1(y≠0) 259259 迹程 x2y2 2．已知椭圆的标准方程是2＋＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，求△ABF2 a25的周长． 因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝41，所以△ABF2的周长为4a＝441. x2y2 3．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点,P是椭圆上的点，且PF1:PF2＝2:1，求△PF1F2的面积． 94 解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22 11 ＋42＝(25)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4. 22 七、直线与椭圆的位置问题 x2?11??y2?1，求过点P?，?且被P平分的弦所在的直线方程． 例 已知椭圆2?22?分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k． 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y?11???k?x??．代入椭圆方程，并整理得 22???1?2k?x??2k22213?2kx?k2?k??0． 22?2k2?2k由韦达定理得x1?x2?． 1?2k2∵P是弦中点，∴x1?x2?1．故得k??所以所求直线方程为2x?4y?3?0． 解法二：设过P?，?的直线与椭圆交于A?x1，y1?、B?x2，y2?，则由题意得 1． 2?11??22? ?x2??y1?1，?22?x22??y2?1，?2?x1?x2?1，??y1?y2?1.21 ①② ③④2x12?x22?y12?y2?0． ⑤ ①－②得 2将③、④代入⑤得 y1?y211??，即直线的斜率为?． x1?x222所求直线方程为2x?4y?3?0． 双曲线典型例题 一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 x2y2??1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 例1 讨论 25?k9?k分析：由于k?9，k?25，则k的取值范围为k?9，9?k?25，k?25，分别进行讨论． 解：（1）当k?9时，25?k?0，9?k?0，所给方程表示椭圆，此时a?25?k，b?9?k， 22c2?a2?b2?16，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）． （2）当9?k?25时，25?k?0，9?k?0，所给方程表示双曲线，此时，a?25?k，b?9?k， 22c2?a2?b2?16，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）． （3）k?25，k?9，k?25时，所给方程没有轨迹． 说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感． 二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点P?3，?，Q???15??4??16?，5?且焦点在坐标轴上． ?3?（2）c?6，经过点（－5，2），焦点在x轴上． x2y22 ??1有相同焦点，且经过点32，（3）与双曲线 164??x2y2??1 解：（1）设双曲线方程为 mn ∵ P、Q两点在双曲线上， ?9225??1??m??16?m16n∴?解得? ?n?9?256?25?1??9mn?x2y2??1 ∴所求双曲线方程为169说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x轴上，c?6， y2??1（其中0???6） ∴设所求双曲线方程为： ?6??∵双曲线经过点（－5，2），∴∴??5或??30（舍去） x225??4?1 6??x2?y2?1 ∴所求双曲线方程是5说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． x2y2??1?0???16? （3）设所求双曲线方程为： 16??4??2，∴∵双曲线过点32，??184??1 16??4??∴??4或???14（舍） x2y2??1 ∴所求双曲线方程为 128x2y2x2y2??1有公共焦点的双曲线系方程为??1后，便有了以上说明：（1）注意到了与双曲线 16416??4??巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 三、求与双曲线有关的角度问题。 x2y2??1的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且PF例3 已知双曲线1PF2?32，求916?F1PF2的大小． 分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形． 解：∵点P在双曲线的左支上 ∴PF1?PF2?6 ∴PF1?PF2?2PF1PF2?36 ∴PF1?PF2∵F1F2222 ?100 22?4c2?4a2?b12?100 ???∴?F1PF2?90 说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化． （2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索． 四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。 x2?y2?1的两个焦点，点P在双曲线上且满足?F1PF2?90?，求?F1PF2的例4 已知F1、F2是双曲线4面积． 分析：利用双曲线的定义及?F1PF2中的勾股定理可求?F1PF2的面积． x2?y2?1上的一个点且F1、F2为焦点． 解：∵P为双曲线4∴PF1?PF2?2a?4,F1F2?2c?25 ∵?F1PF2?90 ∴在Rt?PF1F2中，PF1?PF2∵PF1?PF222??F1F2?20 2??2?PF1?PF2?2PF1PF2?16 22∴20?2PF1PF2?16 ∴PF1?PF2?2 ∴S?F1PF2?1PF1?PF2?1 2说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用． 五、根据双曲线的定义求其标准方程。 0?、F2?5，0?，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹． 例5 已知两点F1??5，分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵c?5，a?3 ∴b?c?a?5?3?4?16 222222x2y2??1为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． ∴所求方程 916 xy??1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且PF2的值． 1?17，求PF643622 例:P是双曲线 分析：利用双曲线的定义求解． x2y2??1中，a?8，b?6，故c?10． 解：在双曲线 6436由P是双曲线上一点，得PF1?PF2?16． ∴PF2?1或PF2?33． 又PF2?c?a?2，得PF2?33． 说明：本题容易忽视PF2?c?a这一条件，而得出错误的结论PF2?1或PF2?33． 六、求与圆有关的双曲线方程。 例6 求下列动圆圆心M的轨迹方程： ?x?2??y2?2内切，且过点A?2，0? （1）与⊙C：222（2）与⊙C1：x??y?1??1和⊙C2：x??y?1??4都外切． 22?x?3??y2?9外切，且与⊙C2：?x?3??y2?1内切． （3）与⊙C1：22分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果 r2且r1?r2，相切的⊙C1、⊙C2的半径为r1、则当它们外切时，O1O2?r1?r2；当它们内切时，O1O2?r1?r2．解 题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程． 解：设动圆M的半径为r （1）∵⊙C1与⊙M内切，点A在⊙C外 ∴MC?r?2，MA?r，MA?MC?2 ∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有： a?27222，c?2，b?c?a? 2222y2?1x??2 ∴双曲线方程为2x?7??（2）∵⊙M与⊙C1、⊙C2都外切 ∴MC1?r?1，MC2?r?2， MC2?MC1?1 ∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，且有： 13a?，c?1，b2?c2?a2? 24∴所求的双曲线的方程为： 4x2?3?4y??1?y?? 34??2（3）∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切 ∴MC1?r?3，MC2?r?1，MC1?MC2?4 ∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且有： a?2，c?3，b2?c2?a2?5 ∴所求双曲线方程为： x2y2??1?x?2? 45说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法． （2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量． （3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标． w.w.w.k.s.5. 抛物线典型例题 一、求抛物线的标准方程。 例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）x?4y （2）x?ay(a?0) 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程． （2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程． 解：（1）?p?2，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：y??1 （2）原抛物线方程为：y?22211x，?2p? aap1?，抛物线开口向右， 24a11,0)，准线方程是：x??∴焦点坐标是(． 4a4ap1②当a?0时，??，抛物线开口向左， 24a11,0)，准线方程是：x??∴焦点坐标是(． 4a4a①当a?0时， 综合上述，当a?0时，抛物线x?ay的焦点坐标为( 二、求直线与抛物线相结合的问题 211,0)，准线方程是：x??． 4a4a 例2 若直线y?kx?2与抛物线y?8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程． 2 分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k． ?y?kx?222解法一：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则由：?2可得：kx?(4k?8)x?4?0． ?y?8x∵直线与抛物线相交，?k?0且??0，则k??1． ∵AB中点横坐标为：?x1?x24k?8??2， 2k2解得：k?2或k??1（舍去）． 故所求直线方程为：y?2x?2． 解法二：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则有y1?8x1两式作差解：(y1?y2)(y1?y2)?8(x1?x2)，即 2y2?8x2． 2y1?y28?． x1?x2y1?y2?x1?x2?4?y1?y2?kx1?2?kx2?2?k(x1?x2)?4?4k?4， ?k?8故k?2或k??1（舍去）． 4k?4则所求直线方程为：y?2x?2． 三、求直线中的参数问题 2例3（1）设抛物线y?4x被直线y?2x?k截得的弦长为35，求k值． （2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标． 分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标． ?y2?4x22解：（1）由?得：4x?(4k?4)x?k?0 ?y?2x?kk2设直线与抛物线交于A(x1,y1)与B(x2,y2)两点．则有：x1?x2?1?k,x1?x2? 4?AB?(1?22)(x1?x2)2?5(x1?x2)2?4x1x2?5(1?k)2?k2?5(1?2k)???? ?AB?35,?5(1?2k)?35，即k??4 （2）?S??9，底边长为35，∴三角形高h?∵点P在x轴上，∴设P点坐标是(x0,0) 2?965 ?535 则点P到直线y?2x?4的距离就等于h，即 2x0?0?422?12?65 5 ?x0??1或x0?5，即所求P点坐标是（－1，0）或（5，0）． 四、与抛物线有关的最值问题 例4 定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y?x上移动，求AB的中点到y轴的距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标． 解：如图，设F是y?x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，又M到准线的垂线为MN， 22C、D和N是垂足，则 1113MN?(AC?BD)?(AF?BF)?AB?． 22221315设M点的横坐标为x，纵坐标为y，MN?x?，则x???． 4244等式成立的条件是AB过点F． 512当x?时，y1y2??P??，故 44122(y1?y2)2?y1?y2?2y1y2?2x??2， 2y1?y2??2，y??2． 2所以M(525,?)，此时M到y轴的距离的最小值为． 4242例 已知点M(3,2)，F为抛物线y?2x的焦点，点P在该抛物线上移动，当PM?PF取最小值时，点P的坐标为__________． 分析：本题若建立目标函数来求PM?PF的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决． 解：如图， 由定义知PF?PE，故PM?PF?PF?PM?ME?MN?3． 取等号时，M、P、E三点共线，∴P点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2， 所以P点坐标为(2,2)． 12
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