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《高中数学变式教学研究》中期报告
——新授课概念性变式教学的三个环节
顾泠沅等学者把变式教学分为概念性变式和过程性变式教学两类。概念性变式教学突出对概念内涵的理解，注重概念的情景引入、语言转换等，逐步从概念的“标准变式”转向概念的“非标准变式”，使学生获得对概念的多角度的理解；过程性变式教学突出对概念外延的应用，注重知识之间的联系和拓展，通过过程性变式教学，使数学教学有层次地递进。一堂新授的概念课，总的来说，主要侧重概念性变式教学，因为这一阶段不适宜作高难度的知识综合训练。
我们工作室第二阶段的工作重点侧重对新授课进行概念性变式教学，下面我们就新授课概念性变式教学应注意的三个环节作些研究和探讨，并从大家熟知的等差数列新授课教学谈起。 一、设置情景，揭示概念的本质特征 （1）知识背景的创设
每节新授课要从学生最为熟悉的现实背景、生活背景、历史背景、数学知识背景等出发，设置最能体现新授概念本质特征的知识背景。
这是概念性变式教学的切入点。老师要列举学生学习经验中感受最深
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的例子。概念引入的背景可多可少，原则只有一条：尽可能地揭示概念的本质特征。
①班级同学的鞋子尺码：27.5，27，26.5，26，25.5，25，24.5，24，23.5，23。
②每个同学的统一营养午餐费：5，5，5，…，5。 ③能被3整除的所有正整数：3，6，9，…
这里列举的三个例子，前两个例子源于学生的生活背景，第三个例子源于学生的数学知识背景。第一个例子中公差小于零，第二个例子中公差等于零，第三个例子中公差大于零。
等差数列概念的本质特征是：从第二项起，后一项与前一项的差是一个常数。这个常数d（公差）可以是任意的实数。即当n?2,n?N*时，
an?an?1?d,d?R。
（2）特殊情形的考虑
从概念的一般性出发，探讨概念的特殊情形。这在新授概念教学中，是学生容易接受的一个学习过程，这样的教学情景不可忽视，它是理解概念一般性结论的基础。我们在这里把对特殊情形的考虑视作为概念性变式教学的特殊情景。这个情景实际上是从概念的局部来解释概念的本质特征，是从学生容易理解的方面入手的。 ①三个数成等差数列的充要条件：
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a,A,b成等差数列?A?a?b?A?2A?a?b?A?a?b。称A为a,b的等差2中项。
②等差数列{an}中，任意相邻三项也成等差数列：
an?1,an,an?1(n?2,n?N*)成等差数列?an是an?1和an?1的中项
?2an?an?1?an?1?由n的任意性，数列{an}成等差数列。
③等差数列{an}中，奇数项组成的数列a1,a3,成等差数列，其公差为2d；偶数项组成的数列a2,a4,成等差数列，其公差为2d；每隔相同的项组成的新数列am,am?k,am?2k，(m,k?N*)…也是等差数列，其公差为kd。
（3）基本结论的推出
从概念的本原出发，进行演绎推理，得出一些基本的结论，如概念衍生出来的性质、定理、公式等。这些结论和新授概念一起成为新授课中的学习要点。我们在这里把基本结论的推演过程视作为概念性变式教学的一般情景。 ① 归纳推广：
由等差数列的定义，得到：
a2?a1?d，a3?a2?d?a1?2d，a4?a3?d?a1?3d，…，an?a1?(n?1)d。
② 数列是特殊的函数。
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