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1997年全国大学生数学建模竞赛题目
A题 零件的参数设计
一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3 倍。 进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。
粒子分离器某参数（记作y）由七个零件的参数（记作(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)）决定，经验公式为：
y?174.42xx1(3)0.85x5x2?x1x4?0.563x1?2.62[1?0.36()]2(4)1.16x2x2
x6x7（记作y0）为1.50。当y偏离y0?0.1时，产品为次品，质量损失为1000（元）；y的目标值
当y偏离y0?0.3时，产品为废品，质量损失为9000（元）；
零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为?1%，B等为?5%，C等为?10%.七个零件的参数标定值的容许范围，及不同容差等级的成本（元）如下表（符号/表示五此等级零件）：
标定值容许范围 [0.075,0.125] [0.225,0.375] [0.075,0.125] [0.075,0.125] [1.125,1.875] C等 / 20 20 50 50 B等 25 50 50 100 / A等 / / 200 500 / x1 x2 x3 x4 x5 <<<<<<精品资料》》》》》
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x6 x7 [12,20] [0.5625,0.935] 10 / 25 25 100 100 x2?0.3，现进行成批生产，每批产量1000个。在原设计中，七个零件参数标定值为x1?0.1，x3?0.1，x4?0.1，x5?1.5，x6?16，x7?0.75；容差均取最便宜的等级。
请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少?
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B题 截断切割
某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这 里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。 设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。 试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的） 详细要求如下： 1）需考虑的不同切割方式的总数。2）给出上述问题的数学模型和求解方法。3）试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。4）对于e = 0的情形有无简明的优化准则。5）用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、 19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组： a. r =1, e = 0; b. r =1.5, e =0; c. r =8, e =0; d. r =1.5; 2 <= e <= 15. 对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。
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模型建立
一．符号说明
x0?(x10,x20,?,x70)：产品零件参数的标定值；xi0：第i个零件的标定值； ai,bi：第i个零件的标定值xi0取值的上、下界； x?(x1,x2,?,x7)：产品零件参数的实际值； y0(?1.5)：产品性能参数的目标值；
f(x1,x2,?,x7)：产品性能参数的经验公式；即
y?f(x1,x2,,x7)?174.42xx1(3)0.85x5x2?x1x4?0.563x1?2.62[1?0.36()]2(4)1.16x2x2 x6x7y?f(x10,x20,?,x70)：产品性能参数的平均值；
y?f(x1,x2,?,x7)：产品性能参数的实际值；
ri(?0.01,0.05或0.10)：第i个零件的相对容差（绝对值）；
?xi：第i个零件的容差，?xi?xi0?ri；
cij： 第i个零件参数取第j个容差等级时所需成本，i?1,2,?,7；j?1,2,3
~~ 第1，2，3个容差分别表示C，B，A等级；
dij：0?1变量，i?1,2,?,7；j?1,2,3, 如果第i个零件参数取第j个容
差等级时dij取值1，否则为零；
?i：第i个零件参数（的实际值）xi的均方差；
?y：产品质量性能参数y?f(x1,x2,?,x7)（的实际值）的均方差；
C(y)：产品y?f(x1,x2,?,x7)的生产成本； L(y)：产品y?f(x1,x2,?,x7)的损失费用；
M(y)：产品y?f(x1,x2,?,x7)的生产成本与损失费用之总和。
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二．关于零件参数的假设
在第i个零件取定其标定值为xi0后，由于在加工过程中存在许随机因素，刀具磨损，测量的误差等，因此，由中心极限定理知零件参数的实际值xi可看成是服从正态分布的随机变量，即
xi~N(xi0,?i)
并且设七个零件的加工过程是相互独立的。
概率统计学告诉我们，如果某个随机变量服从正态分布
x~N(x0,?2)
2则由“3?”原则，有
P(|X?x0|?3?)?0.997?1
0.140.120.10.080.060.040.02
0-15-10-5051015
所以，当要求第i个零件取定其标定值为xi0，第i个零件的容差为
?xi?xi0?ri，则意味着
?xi?xi0?ri?3??i
~~于是
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~?i??xixi0?ri ?33即当第i个零件的标定值xi0，容差等级（C，B，A，既第i个零件的相对容差）
ri(?0.01,0.05或0.10)）确定后，第i个零件参数的实际值xi所服从的正态分布
就完全确定了。
三．关于产品参数y的分布
当七个零件的标定值x0?(x10,x20,?,x70)，容差等级（C，B，A，即每个零件的相对容差）ri(?0.01,0.05或0.10)）确定后，为确定产品性能参数
y(?f(x1,x2,?,x7))的分布规律与求产品质量的损失费用L(y)，现在讨论y的
分布情况。
由于产品性能参数的经验公式
y?f(x1,x2,?,x7)
?174.42xx1(3)0.85x5x2?x1x4?0.563x1?2.62[1?0.36()]2(4)1.16x2x2 x6x7非常复杂，直接得出y的精确分布有困难。
对此有两种办法： ① 用随机模拟的方法
在零件参数标定值的允许范围内任意取一组值x0?(x10,x20,?,x70)和任意一组容差等级r，产生n组相互独立的正态分布随机数xj?(x1j,x2j,?,x7j),
j?1,2,,n, 其中七个零件参数x?(x1,x2,?,x7)中的每个 xij 都是服从正态
分布
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~xij~N(xi0,?i2)， ?i?的随机数。
?xixi0?ri ?33由经验公式得到产品性能参数y的n组（n很大）对应的样本值 yj?f(x1j,x2j,?,x7j)， j?1,2,,n
画出直方图，并用?2检验法检验y是否服从正态分布，并确定y的分布的有关特征数字。
例如，取n = 10000时, y的直方图与y是否服从正态分布的检验
18001600140012001000800600400200011.11.21.31.41.51.61.71.81.92
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Normal Probability Plot0.9990.9970.99 0.98 0.95 0.90 Probability0.75 0.50 0.25 0.10 0.05 0.02 0.01 0.0030.0011.11.21.31.41.51.6Data1.71.81.92
具体见 ytest1 和 ytest2。
② 用理论方法推导
在零件参数标定值的允许范围内任意取一组值x0?(x10,x20,?,x70)和一组容差等级r，记 y?f(x10,x20,?,x70)，表示产品性能参数的平均值。产生零件参数的实际值x?(x1,x2,?,x7)，由经验公式得到产品性能参数y的一组对应的值
y?f(x1,x2,?,x7)
因为
xi?xi0??xi~N(0,?i)， i?1,2,?,7
?2所以
y?f(x1,x2,?,x7)?f(x0??x)
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7?f(x0)??i?1?f?xi??xi
x?x0?y??y
?即
?y?y?y??i?17?f?xi??xi
x?x02因为?xi，i?1,2,?,7服从相互独立的正态分布N(0,?i)，所以?y也服从正态分布N(0,?y)，并且对上式两边取方差，得
?y??[2i?172?f?xi]2??i
x?x02于是产品性能参数y也近似服从正态分布，即
y?y??y~N(y,?y2)
?N(f(x10,x20,?,x70),?i?17?f[?xix?x0x?r]?i0i)
9222至于近似服从正态分布的误差有多大？ 我们后面再讨论。
三．目标函数
由原问题要求，建模的目标函数M(y)应包括产品y?f(x1,x2,?,x7)零件的的生产成本与质量损失费用两部分。
① 生产成本
当零件的标定值x0?(x10,x20,?,x70)与零件的容差?xi?xi0?ri确定以后，零件的的生产成本就完全确定了，为
C(y)???cij?dij
i?1j?173~<<<<<<精品资料》》》》》
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其中cij是第i个零件参数取第j个容差等级时所需成本， i?1,2,?,7；j?1,2,3，第1，2，3个容差分别表示C，B，A等级；而dij为0?1变量，如果第i个零件参数取第j个容差等级时dij取值1，否则为零，并且
?i?1,2,,7，?dij?1
j?13还要注意到对每个i?1,2,
② 质量损失费用 质量损失函数为
,7，对容差等级dij来说，j?1,2,3不一定都能取到；
?0?L(y)??1000?9000?y0?1.5。
|y?y0|?0.10.1?|y?y0|?0.3
|y?y0|?0.3由上一段，y服从正态分布，即
y~N(y,?y)
?N(f(x10,x20,2,x70),?i?17?f[?xix?x0xi02?ri2]?)
92其密度函数为
?(y)所以（y0?1.5）
?12??y?(y?y)22?y2e
y0?0.1正品的概率 p1?P{|y?y0|?0.1}?y0?0.1y0?0.1y0?0.3??(y)dy；
次品的概率 p2?P{0.1?|y?y0|?0.3}?y0?0.3??(y)dy?y0?0.1??(y)dy；
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??y0?0.3废品的概率 p3?P{|y?y0|?0.3}?y0?0.3??(y)dy?????(y)dy。
2再由标准正态分布N(0,1)分布函数?(y)与一般正态分布N(y,?y)分布函数分布函数?(y)之间的关系：
~?(y)??(有
y0?0.1~y?y) ?y p1?P{|y?y0|?0.1}?y0?0.1??(y)dy??(y0?0.1)??(y0?0.1)
~~??((y0?0.1)?y?y)??((y0?0.1)?y?y)
??(同理
1.6?y1.4?y)??() ?y?yy0?0.1y0?0.3p2?P{0.1?|y?y0|?0.3}?~~y0?0.3~??(y)dy?y0?0.1~??(y)dy
?[?(y0?0.1)??(y0?0.3)]?[?(y0?0.3)??(y0?0.1)]
??(和
1.4?y1.2?y1.8?y1.6?y)??()??()??() ?y?y?y?y??y0?0.3p3?P{|y?y0|?0.3}?~~y0?0.3~??(y)dy???~??(y)dy
?[?(??)??(y0?0.3)]?[?(y0?0.3)??(??)]
?1??(1.8?y1.2?y)??() ?y?y从而1个产品的平均质量损失费用
L(y)?1000p2?9000p3
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?1000[?(1.4?y1.2?y1.8?y1.6?y)??()??()??()] ?y?y?y?y1.8?y1.2?y)??()] ?y?y?9000[1??(其中?(y)为标准正态分布N(0,1)分布函数。
于是整个优化问题模型为
minM(y)?1000?{C(y)?L(y)} （1.1）
?1000?{??cij?dij?
i?1j?173?1000?[?(1.4?y1.2?y1.8?y1.6?y)??()??()??()]??y?y?y?y1.8?y1.2?y )??()]}?y?y ?9000[1??(s.t.
ai?xi0?bi i?1,2,?,7
?dij?1，dij?0或1，
j?13i?1,2,?,7，j?1,2,3
并且其中
y?f(x10,x20,?,x70)
ri?0.01,0.05或0.10
?i?2?xixi0?ri? i?1,2,?,7 337~ ?y??[i?1?f?xi]2??i。
x?x02
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注记：模型中的函数?(y)是标准正态分布N(0,1)分布的分布函数。严格地说，这是带变量上下界约束与部分整数变量限制的、目标函数高度非线性的非线性规划问题。
模型求解
一．模型I计算思想
minM(y)?1000?{C(y)?L(y)} （1.1）
?1000?{??cij?dij?
i?1j?173?1000?[?(1.4?y1.2?y1.8?y1.6?y)??()??()??()]? ?y?y?y?y1.8?y1.2?y)??()]} ?y?y?9000[1??(s.t.
ai?xi0?bi i?1,2,?,7
?dij?1，dij?0或1，i?1,2,?,7，j?1,2,3
j?13并且 d11?d13?d21?d51?d52?d73?0 其中
y?f(x10,x20,?,x70)
ri?0.01,0.05或0.10
?i?2?xixi0?ri? i?1,2,?,7 337~ ?y??[i?1?f?xi]2??i。
x?x02
模型中的函数?(y)是标准正态分布N(0,1)分布的分布函数。
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这个带变量上下界约束与整数变量的、目标函数高度非线性的非线性规划问题怎样求解呢？
注意到（1.1）中，一当第i个零件的相对容差ri(?0.01,0.05或0.10)或第i个零件的容差?xi：?xi?xi0?ri确定以后，零件的生产成本就确定了，即这时不论零件的标定值x0?(x10,x20,?,x70)在标定值取值范围中怎么取，生产成本都是不变的，为??cij?dij。
i?1j?173~~全部七个零件的相对容差只有1?2?32?1?3?2?108种组合。对所有108种情况可以逐次去计算；
实则上108种情况可以再简化。从零件参数的标定值及不同容差等级的成本（元）如下表（符号/表示五此等级零件）：
x1 标定值容许范围 [0.075,0.125] [0.225,0.375] [0.075,0.125] [0.075,0.125] [1.125,1.875] [12,20] [0.5625,0.935] C等?10% / 20 20 50 50 10 / B等为?5% 25 50 50 100 / 25 25 A等为?1% / / 200 500 / 100 100 x2 x3 x4 x5 x6 x7 容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为?1%，B等为?5%，C等为?10%.七个零件的参数标定值的标定值有一定的容许变化范围；
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可见，A等（为?1%）是不可能取到的。用模拟的方法也可以确定，平均每个产品的生产成本一般在200-300之间，而损失费用为150上下。如此，A等成本费用中200与500的费用太高，所增加的成本费用是损失费用无法弥补的，从而是不可能取到的。于是容差等级总共不超过1?2?22?1?3?2?48种。考虑到100费用仍然也是难以弥补的，事实上，还应该是
1?2?22?1?2?1?16
种情况。
确定了一种容差方案后，上述问题实质上化为
minL(y) （1.2）
?1000?[?(1.4?y1.2?y1.8?y1.6?y)??()??()??()]? ?y?y?y?y?9000[1??(s.t.
1.8?y1.2?y)??()]} ?y?yai?xi0?bi i?1,2,?,7
y?f(x10,x20,?,x70)?f(x0)
其中
ri?0.01,0.05或0.10
?y??2i?17?f[?xix?x0x?r]?i0i， i?1,2,?,7。
9222已经确定。
二、编程实现技术细节
1. 容差等级、生产成本 与 标定值区间
R=[0.10 0.05]; % 容差等级，最贵的一种舍去！ cost=[inf 25 % 选定容差以后的生产成本费用
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20 50 20 50 50 100 50 inf 10 25 inf 25];
A=[0.075 0.125 0.225 0.375 0.075 0.125 0.075 0.125 0.125 1.875 12 20
0.5625 0.9375]; % 标定值区间
2. 怎么选定容差等级
用i1，i2，i3，i4，i5，i6，i7表示选定的容差等级，值都在1，2中选择，并且i1=2，i5=1，i7=2。 于是全部容差等级的循环是4重循环。
从而选定的第k个零件的容差等级为
r（ik）= R（ik）
而对应的成本费用为
cost(k,ik)
所以，这个产品的生产成本为
Cy = cost(1,i1) + cost(2,i2) + cost(3,i3) + cost(4,i4) +
cost(5,i5) + cost(6,i6) + cost(7,i7)
3. 损失费用的最小化计算
当标定值x与容差等级r取定后，损失费用是个最小值优化问题。其目标函数 与 约束条件是：
minL(y) （1.2）
?1000?[?(1.4?y1.2?y1.8?y1.6?y)??()??()??()]? ?y?y?y?y<<<<<<精品资料》》》》》
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?9000[1??(s.t.
1.8?y1.2?y)??()]} ?y?yai?xi0?bi i?1,2,?,7
y?f(x10,x20,?,x70)?f(x0)
其中
ri，i?1,2,?,7已确定，而标定值 x0 是优化变量
?y??2i?17?f[?xix?x0x?r]?i0i， i?1,2,?,7。
9222已经可以计算。其中已经没有零件参数的实际随机值 x 了。
1.4?y目标函数中的 ?(Matlab中有现成) 是正态分布N(0,1)的分布函数，
?y的函数 normcdf 可以调用（比较 normpdf ）。
4. 多元函数的偏导数（或梯度）怎么计算
多元函数的偏导数（或梯度）与 海森矩阵 怎么计算，Matlab中有现成的函数 jacobian 可以调用，具体见 objgrad.m。
5. 当时的计算程序编写方法
（1）．计算方法一：用Matlab中函数Fmincon来计算 见 mydesign1 求解结果： 零件参数标定值： x = 0.0750 0.3750 0.1106 0.1200
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1.1309 12.0100 0.7977 相应的容差等级： r = 0.0500 0.0500 0.0500 0.1000 0.1000 0.0500 0.0500
零件总费用（成本+损失）： My =
4.2136e+005 每个零件成本与损失： Cy = 275 Ly = 146.3603
程序求解运行时间： T = 16.0051
（2）. 计算方法二：用网格搜索方法
（3）．计算方法三：用随机模拟的方法
（4）．计算方法四：用模拟退火算法
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（5）．计算方法五：用遗传算法
二．初始方案费用计算
1．原设计方案费用计算----用Matlab 见 mydesign2 零件参数标定值：
x = 0.1000 0.3000 0.1000 0.1000 1.5000 16.0000 0.7500
相应的容差等级： r =0.0500 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.0500
零件总费用（成本+损失）： My =
3.0748e+003
零件成本与损失：
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Cy = 200 Ly =
2.8748e+003 计算运行时间： T =0.6351
2．原设计方案费用计算----用随机模拟
见 mydesign3
用随机模拟法(n=10000次随机试验)开始求原设计方案费用。请稍候--- 零件参数标定值： x = 0.1000 0.3000 0.1000 0.1000 1.5000 16.0000 0.7500 相应的容差等级： r = 0.0500 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.0500
产品性能指标参数y分布的统计标准差： sigmay =
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0.1113 产品统计正品率： p1 = 0.1154 产品统计次品率： p2 =0.6242 产品统计费品率： p3 =0.2604
零件总费用（成本+损失）： My =
3.1678e+003 零件成本与损失： Cy = 200 Ly =
2.9678e+003 计算运行时间： T = 4.0799
模型检验与误差分析
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对建模的结果，我们往往要作结果检验与敏感性分析和误差分析等，以提高论文的完整性和理论层次（可以参考上海交通大学与中国科大的获奖论文）。
1、敏感性分析
首先，在最优标定值点x0处，因为实际参数值
xi?xi0??xi~N(0,?i)， i?1,2,?,7
?2所以
y?f(x1,x2,?,x7)?f(x0??x)?f(x0)??i?17?f?xi??xi
x?x0?y??y
?
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即
?y?y?y??i?17?f?xi??xix?x0
从而
7?yy?y???[yyi?1?f?xix?x0y?xi]?xi xi即目标函数的梯度（绝对敏感性系数），除以函数均值y，乘上每个参数xi的当前标定值，即为误差传递的敏感性系数。从而第i个参数的相对敏感性系数为
?f?xisi?x?x0y?xi，i?1,2,?,7
又
grad_y = [24.1992 -3.3932 11.5039 -2.6496 -1.3243 -0.0623 -0.9385]
或 敏感系数 估计值 1 1.2125 2 0.8501 3 0.8500 4 0.2124 5 1.0000 6 0.5000 7 0.5000
其次，在最优标定值点处，固定六个参数，仅让其中一个参数改变，由此得到的函数值的改变情况比较图形为：
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30y(x1)y(x2)y(x3)y(x4)y(x5)y(x6)y(x7) 2520151050-5 -0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.25
同样可见，函数y值的变化对参数x1，x3比较最为敏感，其次是x2，x4，x5，x7，而对x6是最不敏感的。 2、误差分析
（1）关于函数y的值的误差估计。当标定值确定以后，由于零件实际的参数值带有随机性，因而函数 y 的值与均值y?f(x10,x20,?,x70)也有一定随机性误差。则对y取值的相对误差，也有用
?y?y其中
?i?17[?f?xi]2??i2x?x0y ?i??xixi0?ri?，i?1,2,?,n 33~来表示的。
由此可以估计出当标定值、容差等级确定后，产品的性能指数函数值有多大
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的随机性波动。
（2）关于函数y的值的非线性误差，以及所带来的对函数值y的分布误差的影响是不是会很显著的问题，可以见程序myhess 。当标定值达到允许的最大误差时，函数 y 的值的非线性误差为
Error非线性?(x?x0)?H(x0)(x?x0) = 0.0338
其中H(x0)是函数y在最优标定值点x0处的海森矩阵（即二阶导数矩阵）。而非线性误差的相对值为
Ratio?Error非线性y = 2.26%。
所以，说经验函数值近似服从正态分布，其误差是很小的，即近似度是很高的。
模型改进
-----模型II建立
前面的优化问题模型
minM(y)?1000?{C(y)?L(y)} （1.1）
?1000?{??cij?dij?
i?1j?173?1000?[?(1.4?y1.2?y1.8?y1.6?y)??()??()??()]? ?y?y?y?y1.8?y1.2?y)??()]} ?y?y?9000[1??(s.t.
ai?xi0?bi i?1,2,?,7
?dij?1，dij?0或1，i?1,2,?,7，j?1,2,3
j?13<<<<<<精品资料》》》》》
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其中
y?f(x10,x20,?,x70)
ri?0.01,0.05或0.10
?i?2?xixi0?ri i?1,2,?,7 ?337~ ?y??[i?1?f?xi]2??i。
x?x02
模型中的函数?(y)是标准正态分布N(0,1)分布的分布函数。另外，用到质量损失函数
?0?L(y)??1000?9000?|y?y0|?0.10.1?|y?y0|?0.3
|y?y0|?0.3y0?1.5。 因而这使得该问题的目标函数高度非线性，以至于非线性规划问题
怎样求解困难！
实际上，从另外一个角度来看，就是从产品的社会效用来说，性能指标差|y-y0| 越接近于0.1的产品，其接近于正品，因而应该几乎没有什么损失；另一方面，性能指标差|y-y0| 越接近于0.3的产品，其接近于废品，因而损失应该几乎等同于废品，即它的损失费用应该接近于9000，而不是恒定在1000；
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我们可以凭经验，合理地假设损失函数是y-y0的二次函数，即
L(y)?K?(y?y0)2
由|y-y0|=0.1时，L(y) = 1000，|y-y0|=0.3时，L(y) = 9000可得K=105。于是平均质量损失
E[L(y)]?105?E[(y?y0)2] ?105?E[(Y?EY)?(EY?y0)]2
2?105?[?2?(EY?y)] y0
2?105?[?2?(y?y)] y0其中y?f(x0)，即标定值对应的产品质量性能指标的平均值，y0?1.5。而
?y??2i?17?f[?xi]2??ix?x02
所以对应的修改优化模型是
minM(y)?1000?{C(y)?E[L(y)]} （1.2）
732?1000?{??cij?dij?105?[?2?(y?y)]} y0i?1j?1s.t.
ai?xi0?bi i?1,2,?,7
?dj?13ij?1，dij?0或1，i?1,2,?,7，j?1,2,3
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其中
y?f(x10,x20,?,x70)
ri?0.01,0.05或0.10 i?1,2,?,7
?i?2?xixi0?ri i?1,2,?,7 ?337~ ?y??[i?1?f?xi]2??i。
x?x02
这个优化问题是个确定性的，混合整数规划问题。与分布函数没有关系。求解稍简单一些。
求解结果见程序（model II）。
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1997年全国大学生数学建模竞赛题目A题只是分享
