第一节多元函数的基本概念

第八章 多元函数微分法及应用（§1 多元函数基本概念）

第八章 多元函数微分法及应用

第一节 多元函数的基本概念

要求：掌握二元函数及其定义域的概念，会用平面图形表示定义域，知道二元函数的几何意义。了解二元函数的极限余连续的概念，并且知道它与一元函数的差别。 重点： 二元函数极限的概念，它与一元函数的差别。 难点：二元函数极限的定义与计算。

作业：习题8－1（P12）1,3,42)4)6),52)3),61),7

在现实中，许多客观现象或过程的发生和发展都是受多种因素制约的，在数学上表现为一个变量依赖于多个变量的问题，涉及多个变量的函数称为多元函数．本章多元函数微分学及应用，我们主要针对二元函数展开讨论，这不仅因为有关的概念和方法有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然地推广到二元以上的多元函数．讨论一元函数时，常用到邻域和区间概念，由于讨论多元函数的需要，首先把邻域和区间概念加以推广称邻域和区域．

一．区域

1．邻域

定义1 设P0(x0,y0)是xoy平面上的一个点，?是某一正数，与点P0(x0,y0)距离小于?的点P(x,y)的全体，称为点P0的?邻域，记为U(P0,?)．即

(x?x0)?(y?y0)?? U(P0,?)?P|PP0???(x,y)|几何解释：U(P0,?)是xoy平面上以P0(x0,y0)点为中心，??0为半径圆的内部点

???22?P(x,y)的全体．

去心邻域：点P0的去心邻域

U(P0)??P|0?PP0????(x,y)|0?(x?x0)2?(y?y0)2??

2．区域

设E是平面上的一点集，P是平面上的一点．

内点：如果存在点P的某一邻域U(P)，使得U(P)?E，则称P为E的内点． 开集：如果点集E的点都是内点，则称E为开集．

如 E1?(x,y)|1?x?y?4是开集

边界点：如果点P的任一邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则称P为E的边界点． 边界：E的边界点的全体称为E的边界．

如 E1的边界是x?y?1和x?y?4

2222????22?

1

第八章 多元函数微分法及应用（§1 多元函数基本概念）

连通：设D是开集，如果对于D内任何两点，都可用属于D的折线将其连接起来，则称开集D是连通的．

定义2 连通的开集称为区域．

如 (x,y)|1?x?y?4 有界闭区域 ?(x,y)|x?y?1? 无界开区域

有界区域与无界区域：对于区域D，如果存在正数?，使得D?U(P0,?)，那么称区域D为有界区域，否则称无界区域．

3．n维空间 我们知道，数轴上的点与实数有一一对应关系，从而实数全体表示数轴上一切点的集合，即直线．

在平面直角坐标系下，平面上的点与有序二元数组(x,y)一一对应，从而有序二元数组

?22?(x,y)全体表示平面上一切点的集合，即平面．

在空间直角坐标系下，空间上的点与有序三元数组(x,y,z)一一对应，从而有序三元数组(x,y,z)全体表示空间上一切点的集合，即空间——三维空间．

一般地，设n为取定的一个自然数，称有序n元数组(x1,x2,??xn)的全体为n维空间，而每个有序n元数组(x1,x2,??xn)称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标，n维空间记为R．

设维空间中两点P(x1,x2,??xn)及Q(y1,y2,??yn)的距离为

nPQ?(y1?x1)?(y2?x2)???(yn?xn)

说明：前面平面点集的一系列概念，可推广到n维空间中去

n 如 点P0的邻域，设P0?R ，数??0．

222定义3 U(P0,?)?P|PP0??,P?R?n?为点P的?邻域．

0二．二元函数概念

以前所研究的函数都依赖于一个自变量，即一元函数，但在许多自然现象和实际问题中所遇到的函数关系，常依赖于两个或两个以上自变量．

下面举几例子．

例1. 圆柱体的体积V和它的底半径r，高h之间有关系式

V??rh

这里，当r,h在集合?(r,h)|r?0,h?0?内取定一对值(r,h)时，V的对应值就随之确定．

2

2第八章 多元函数微分法及应用（§1 多元函数基本概念）

例2．设R是电阻R1,R2并联后的总电阻，它们之间关系 R?R1R2

R1?R2这里，当R1,R2在集合?(R1,R2)|R1?0,R2?0?内取定一对值(R1,R2)时，R的对应值就随之确定．

上面二个例子具体意义虽各不同，但它们确有共同的性质，抽象出这些共同性就可得到下列二元函数定义．

1．二元函数定义

定义4 设D是平面上的一个点集，如果对于每个点P(x,y)?D，变量z按照一定法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数(或点P的点函数)，记为

z?f(x,y)，(或z?f(P))

其中x,y称为自变量，z称因变量，D称该函数的定义域．数集?z|z?f(x,y),(x,y)?D?称该函数的值域．

说明：

（1）判断z是否是变量x,y的函数，只要看它们是否有对应关系，根据这个对应关系，当变量x,y给定一组值，就能确定出z的值，至于这个对应关系是什么形式，如何表达的，函数定义并不要求．

例如 二元函数z?c，I??10(ax?b)2dx是a,b的二元函数，

?xy22?x2?y2,x?y?0 二元函数z??．

?0,x2?y2?0?（2）二元函数的定义也可以表示为f： D?R?R． 2．二元函数定义域求法

二元函数定义域与一元函数的定义域求法相类似．

（1）用算式表达的二元函数z?f(x,y)，那么使这个算式表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域；

（2）当函数的自变量具有某种实际意义时，应根据实际意义确定其定义域． 如：在例1中，r?0,h?0．

例3．求二元函数z?ln(x?y)的定义域． 解 要使对数有意义，必须x?y?0．

2 3