参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题
13．y=3x 三、解答题
17．解：（1）由已知得sinB?sinC?sinA?sinBsinC，故由正弦定理得b?c?a?bc．
22222214．
121 315．0.18 16．2
b2?c2?a21?． 由余弦定理得cosA?2bc2因为0?A?180，所以A?60．
（2）由（1）知B?120?C，由题设及正弦定理得2sinA?sin120??C?2sinC，
??????即2631?cosC?sinC?2sinC，可得cos?C?60????．
2222???由于0?C?120，所以sinC?60???2，故 2sinC?sin?C?60??60??
?sin?C?60??cos60??cos?C?60??sin60? ?6?2． 418．解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以ME∥B1C，且ME=
1B1C． 21A1D． 2又因为N为A1D的中点，所以ND=
由题设知A1B1?DC，可得B1C?A1D，故ME?ND，
6
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN?平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则
A(2,0,0)，A1(2，0，4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1A?(0,0,?4)，A1M?(?1,3,?2)，
A1N?(?1,0,?2)，MN?(0,?3,0)．
??m?A1M?0设m?(x,y,z)为平面A1MA的法向量，则?，
??m?A1A?0所以???x?3y?2z?0，?可取m?(3,1,0)．
???4z?0．??n?MN?0， 设n?(p,q,r)为平面A1MN的法向量，则???n?A1N?0．???3q?0，所以?可取n?(2,0,?1)．
???p?2r?0．于是cos?m,n??m?n2315， ??|m‖n|2?5510
．5所以二面角A?MA1?N的正弦值为 7
19．解：设直线l:y?3x?t,A?x1,y1?,B?x2,y2?． 2（1）由题设得F?35?3?,0?，故|AF|?|BF|?x1?x2?，由题设可得x1?x2?．
22?4?3?y?x?t12(t?1)?22由?，可得9x?12(t?1)x?4t?0，则x1?x2??． 292?y?3x?从而?12(t?1)57?，得t??． 928所以l的方程为y?37x?． 28（2）由AP?3PB可得y1??3y2．
3??y?x?t2由?，可得y?2y?2t?0． 22??y?3x所以y1?y2?2．从而?3y2?y2?2，故y2??1,y1?3． 代入C的方程得x1?3,x2?1． 3故|AB|?413． 320．解：（1）设g(x)?f'(x)，则g(x)?cosx?11，g'(x)??sinx?.
(1?x)21?x当x???1,设为?.
????????时，单调递减，而，可得在 ?1,g'(0)?0,g'()?0g'(x)g'(x)???有唯一零点，2?2?2?则当x?(?1,?)时，g'(x)?0；当x???,?????时，g'(x)?0. 2???????所以g(x)在(?1,?)单调递增，在??,?单调递减，故g(x)在??1,?存在唯一极大
2??2?? 8
???值点，即f'(x)在??1,?存在唯一极大值点.
2??（2）f(x)的定义域为(?1,??).
（i）当x?(?1,0]时，由（1）知，f'(x)在(?1,0)单调递增，而f'(0)?0，所以当
x?(?1,0)时，f'(x)?0，故f(x)在(?1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x?0是f(x)在(?1,0]的唯一零点.
??????（ii）当x??0,?时，由（1）知，f'(x)在(0,?)单调递增，在??,?单调递减，而
?2??2???????f'(0)=0，f'???0，所以存在????,?，使得f'(?)?0，且当x?(0,?)时，
?2??2???????f'(x)?0；当x???,?时，f'(x)?0.故f(x)在(0,?)单调递增，在??,?单调递
?2??2?减.
?????????又f(0)=0，f???1?ln?1???0，所以当x??0,?时，f(x)?0.从而，f(x) 在
?2??2??2?????0,?没有零点. ?2??????????（iii）当x??,??时，f'(x)?0，所以f(x)在?,??单调递减.而f???0，
?2??2??2????f(?)?0，所以f(x)在?,??有唯一零点.
?2?（iv）当x?(?,??)时，ln(x?1)?1，所以f(x)<0，从而f(x)在(?,??)没有零点. 综上，f(x)有且仅有2个零点.
21．解：X的所有可能取值为?1,0,1.
P(X??1)?(1??)?，P(X?0)????(1??)(1??)， P(X?1)??(1??)，所以X的分布列为
9
（2）（i）由（1）得a?0.4,b?0.5,c?0.1.
因此pi=0.4pi?1+0.5 pi+0.1pi?1，故0.1?pi?1?pi??0.4?pi?pi?1?，即
pi?1?pi?4?pi?pi?1?.
又因为p1?p0?p1?0，所以?pi?1?pi?(i?0,1,2,（ii）由（i）可得
,7)为公比为4，首项为p1的等比数列．
p8 ?p8?p7?p7?p6?.
由于p8=1，故p1??p1?p0?p0 ??p8?p7???p7?p6??48?1??p1?p0??p1 33，所以 48?144?11p4 ??p4?p3???p3?p2???p2?p1???p1?p0??p1 ?.
3257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，
乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4?论的概率非常小，说明这种试验方案合理.
1此时得出错误结?0.0039，
2571?t4t2?y??1?t?2?1，且x?????22．解：（1）因为?1???1，所以C的直角坐标方程22?221?t21?t?????1?t?2222y2?1(x??1). 为x?42l的直角坐标方程为2x?3y?11?0.
（2）由（1）可设C的参数方程为??x?cos?,（?为参数，?π???π）.
y?2sin??π??4cos?????11|2cos??23sin??11|3??C上的点到l的距离为. ?77 10
当???π?2π?时，4cos?????11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.
3?3?22222223．解：（1）因为a?b?2ab,b?c?2bc,c?a?2ac，又abc?1，故有
a2?b2?c2?ab?bc?ca?所以
ab?bc?ca111???.
abcabc111???a2?b2?c2. abc（2）因为a, b, c为正数且abc?1，故有
(a?b)3?(b?c)3?(c?a)3?33(a?b)3(b?c)3(a?c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c)
?3?(2ab)?(2bc)?(2ac)
=24.
所以(a?b)?(b?c)?(c?a)?24.
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江西省2019年高考理科数学试题及答案
