江西省2019年高考理科数学试题及答案
(满分150分,考试时间120分钟)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。)
1.已知集合M?{x?4?x?2},N?{xx2?x?6?0?,则MA.{x?4?x?3? C.{x?2?x?2?
B.{x?4?x??2? D.{x2?x?3?
N=
2.设复数z满足z?i=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则
A.(x+1)?y?1 C.x?(y?1)?1
2222B.(x?1)?y?1 D.x?(y+1)?1
2222
a?log20.2,b?20.2,c?0.20.3,则 3.已知 A.a?b?c
B.a?c?b
C.c?a?b
D.b?c?a
4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之 比是5?15?1≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便 (22是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
5?1
.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子 2
下端的长度为26 cm,则其身高可能是
A.165 cm 5.函数f(x)=
B.175 cm
C.185 cm
D.190 cm
sinx?x在[??,?]的图像大致为 2cosx?x
B.
A.
1
C. D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A.
5 16B.
11 32C.
21 32
D.
11 167.已知非零向量a,b满足|a|?2|b|,且(a?b)?b,则a与b的夹角为
π 62πC.
3A.8.如图是求
π 35πD.
6B.
12?12?12的程序框图,图中空白框中应填入
1 2?A1C.A=
1?2AA.A=
1 A1D.A=1?
2AB.A=2?
9.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4?0,a5?5,则
A.an?2n?5
an?3n?10 B. 2C.Sn?2n?8n
D.Sn?12n?2n 210.已知椭圆C的焦点为F1(?1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|?2|F2B|,
|AB|?|BF1|,则C的方程为
x2?y2?1 A.2
x2y2??1 B.322
x2y2??1 C.43x2y2??1 D.54
11.关于函数f(x)?sin|x|?|sin x|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间(
?2,?)单调递增
③f(x)在[??,?]有4个零点 其中所有正确结论的编号是 A.①②④
B.②④
④f(x)的最大值为2
C.①④ D.①③
12.已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,
E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为 A.86?
B.46?
C.26?
D.6?
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。)
13.曲线y?3(x?x)e在点(0,0)处的切线方程为____________.
214.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1?,a4?a6,则S5=____________.
2x1315.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根
据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是_________.
x2y216.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两
ab条渐近线分别交于A,B两点.若
,则C的离心率为__________.
三、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个
试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答。) (一)必考题(共60分) 17.(本小题共12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB?sinC)2?sin2A?sinBsinC.
(1)求A;
(2)若2a?b?2c,求sinC. 18.(本小题共12分)
如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分 别是BC,BB1,A1D的中点.
3
(1)证明:MN∥平面C1DE; (2)求二面角A?MA1?N的正弦值. 19.(本小题共12分)
已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程; (2)若
求|AB|.
3的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P. 220.(本小题共12分)
已知函数f(x)?sinx?ln(1?x),f?(x)为f(x)的导数.证明:
(1)f?(x)在区间(?1,)存在唯一极大值点; (2)f(x)有且仅有2个零点. 21.(本小题共12分)
为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试 验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得?1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得?1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列;
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i?0,1,?2,8)表示“甲药的累计得分为i时,
最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0?0,p8?1,pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,,7),
4
其中a?P(X??1),b?P(X?0),c?P(X?1).假设??0.5,??0.8.
(i)证明:{pi?1?pi}(i?0,1,2,,7)为等比数列;
(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
(二)选考题(共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计
分。)
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
?1?t2x?,?2?1?t在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为?(t为参数).以坐标原点O为极点, ?y?4t?1?t2?x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2?cos??3?sin??11?0.
(1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值. 23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (1)
111???a2?b2?c2; abc333(2)(a?b)?(b?c)?(c?a)?24.
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