第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】
1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类：
m3、有理数的本质定义，能表成n（n?0,m,n互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）；
③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质：
?a(a?0)|a|??2?a(a?0)(|a|?0,a?0) ? ① ② 非负性 ③ 非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。
ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若
ab0,则|a||b||ab|??abab的值等于多少
2． 如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（ ）
A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方
3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求
x2?(a?b?c)dx?(0a?2)0b06?(?c)2d的值。
4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么|a?b|?|a?b|化简的结果等于（ A.2a B.?2a C.0 D.2b
2(a?3)?|b?2|?0，求ab的值是（ ） 5、已知
A.2 B.3 C.9 D.6
a?bb?cc?a,, 6、 有3个有理数a,b,c，两两不等，那么b?cc?aa?b中有几个负数
b 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a?b,a的形式式，又可表示为0，a，b的形式，求a2006?b2007。
8、 三个有理数a,b,c的积为负数，和为正数，且
ax3?bx2?cx?1的值是多少
X?abc|ab||bc||ac|?????|a||b||c|abbcac则
20072007|a?b|?|c?a|?1，试求|c?a|?|a?b|?|b?c|的值。 a,b,c9、若为整数，且
三、课堂备用练习题。
1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)
59173365129??????133、计算：248163264
4、已知a,b为非负整数，且满足|a?b|?ab?1，求a,b的所有可能值。5、若三个有理数a,b,c|a||b||c||abc|
???1bc满足a，求abc的值。 第二讲 数系扩张--有理数（二）
一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义
① |a|?|a?0|表示数a对应的点到原点的距离。 ② |a?b|表示数a、b对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1、 （1）若?2?a?0，化简|a?2|?|a?2|
||x|?2x|0，化简|x?3|?|x|
x?a|a|，试化简|x?1|?|x?2|
（2）若x2、设a0，且
3、a、b是有理数，下列各式对吗若不对，应附加什么条件 （1）|a?b|?|a|?|b|; （2）|ab|?|a||b|; （3）|a?b|?|b?a|; （4）若|a|?b则a?b （5）若|a||b|，则ab （6）若ab，则|a||b|
4、若|x?5|?|x?2|?7，求x的取值范围。
5、不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果|a?b|?|b?c|?|a?c|，那
么B点在A、C的什么位置 6、设abcd，求|x?a|?|x?b|?|x?c|?|x?d|的最小值。
bcde，求|a?b|?|b?c|?|c?d|?|d?e|的最大值。
M?(a1?a2?a3??a2005)7、abcde是一个五位数，a8、设
a1,a2,a3,,a2006都是有理数，令
?a2005)(a2?a3?a4??a2006)N?(a1?a2?a3?,
?a2006)(a2?a3?a4?,试比较M、N的大
小。 三、【课堂备用练习题】：
1、已知f(x)?|x?1|?|x?2|?|x?3|??|x?2002|求f(x)的最小值。
2(a?b?1)|a?b?1|2、若与互为相反数，求3a?2b?1的值。
|a||b||c|??bc的值。 3、如果abc?0，求a4、x是什么样的有理数时，下列等式成立
（1）|(x?2)?(x?4)|?|x?2|?|x?4| （2）|(7x?6)(3x?5)|?(7x?6)(3x?5)
|x?|x||x5、化简下式：
第三讲 数系扩张--有理数（三）
一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。 （2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。 （4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。
3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。 二、【典型例题解析】：
5??1??3??0.75???2??(?0.125)???12????4?7??8? ?4??1、计算：
2、计算：（1）、
56??90.4.??18.??1?4???
（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25
?1??1??1?2??3????6????2?（3）、（-43）+?3??2??4?
?2??3??2???3????2????1????1.75?3、计算：①?3??4??3?
?1??1??1???1????4????2?②?2??4??3?
?7??1??1??1???4????5????4????3?4、 化简：计算：（1）?8??2??4??8?
??3??5??1?2?3.75??????????????4??0.1253???8??6??2?（2） ??3??4??0?1????1????????5????????4?7??7???（3）
?2??3??5???7????1????3?（4）?3??4??6?
757??9618） （5）-4.035×12＋7.535×12-36×（
??2?5、计算： （1）
3?3???1????1?24
12?11998??1?0.5????3???3??? 3?（2）
1?2??2?8?3???2???1?0.5?2???????552142 ??????（3）
3??34????1?3???1?????2??10??0.5??????????1644???????????6、计算：?
134711133(?)?[0.253?(?)3]?(5?1.25?4)?[(0.45)2?(2)]?(?1)200242420017、计算：8163 ：
第四讲 数系扩张--有理数（四） 一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。 3、巧算的一般性技巧： ① 凑整（凑0）； ② 巧用分配律 ③ 去、添括号法则； ④ 裂项法 4、综合运用有理数的知识解有关问题。 二、【典型例题解析】：
1、计算：
0.7?123797?6.6??2.2??0.7??3.3?1173118
1111)?(???1996234?111)?(1???199723?11(1???232、
?1111)?(???2341997?1)1996
?22?(?2)2?|3.14??|??(?1)3?|?3.14|3、计算：①②
5?3???2?4?[?3?(?2)2?(?4)?(?1)3]?7?(x?y)?(2x?4、化简：
11y)?(3x?y)?1?22?3n2?1?2n?1
(9x?1y)8?9并求当x?2,y?9时的值。
22?132?142?1Sn?2?2?2?2?13?14?15、计算：
6、比较
Sn?1234????24816?n2n与2的大小。
134711133(?)?[0.253?(?)3]?(5?1.25?4)?[(0.45)2?(2)]?(?1)200242420017、计算：8163
c?a?2ba?2cc?2bx?y?3，3，3，请将a,b,c,x,y按
8、已知a、b是有理数，且a从小到大的顺序排列。
三、【备用练习题】：
b，含
1111122??????1、计算（1）42870130208 （2）1?33?511112007?2006?2005?2004?23232、计算：
111(?1)?(?1)?(?1)?2343、计算：
?(?1111?23
?299?101
1)2006
(b?a)2?(a?b)200622005(a?1)?|b?2|?02ab?(a?b)4、如果，求代数式的值。
5、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求值。
第五讲代数式（一） 一、【能力训练点】：
a2?b2?1?(1?2m?m2)cd的
学而思初一数学培优汇总精华
