高中数学必修五知识点总结
解直角三角形...............2
数列.......................5
不等式.....................11
1
解三角形复习知识点
一、知识点总结
【正弦定理】
1.正弦定理:
abc???2R (R为三角形外接圆的半径). sinAsinBsinC2.正弦定理的一些变式:
abc; ,sinB?,sinC?2R2R2Ra?b?c?2R ;(4)iiia?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC??sinA?sinB?sinC?i?a?b?c?sinA?sinB?sinC;?ii?sinA?3.两类正弦定理解三角形的问题:
(1)已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边角.(可能有一解,两解,无解)
【余弦定理】
?a2?b2?c2?2bccosA?2221.余弦定理: ?b?a?c?2accosB
?c2?b2?a2?2bacosC?2.推论:
?b2?c2?a2?cosA?2bc?
a2?c2?b2?
. ?cosB?
2ac?
?b2?a2?c2?cosC?
2ab?
设a、b、c是???C的角?、?、C的对边,则: ①若a?b?c,则C?90; ②若a?b?c,则C?90; ③若a?b?c,则C?90.
3.两类余弦定理解三角形的问题:(1)已知三边求三角.
(2)已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.
222222222
【面积公式】
已知三角形的三边为a,b,c,
2
1.S?1aha?1absinC?1r(a?b?c)(其中r为三角形内切圆半径)
2222.设p?1(a?b?c),S?2p(p?a)(p?b)(p?c)
【三角形中的常见结论】
)A?B?C??(1(2)
sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, sinA?BCA?BC?cos,cos?sin;sin2A?2sinA?cosA, 2222(3)若A?B?C?a?b?c?sinA?sinB?sinC 若sinA?sinB?sinC?a?b?c?A?B?C (大边对大角,小边对小角)
(4)三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 (5)三角形中最大角大于等于60,最小角小于等于60
(6) 锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.
钝角三角形?最大角是钝角?最大角的余弦值为负值 (7)?ABC中,A,B,C成等差数列的充要条件是B?60.
(8) ?ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列,且a,b,c成等比数列. 二、题型汇总
题型1【判定三角形形状】
判断三角形的类型 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.
???a2?b2?c2?A是直角??ABC是直角三角形(2)在?ABC中,由余弦定理可知:a2?b2?c2?A是钝角??ABC是钝角三角形
a2?b2?c2?A是锐角??ABC是锐角三角形(注意:A是锐角??ABC是锐角三角形)
(3) 若sin2A?sin2B,则A=B或A?B??23
.
例1.在?ABC中,c?2bcosA,且(a?b?c)(a?b?c)?3ab,试判断?ABC形状.
题型2【解三角形及求面积】
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
例2.在?ABC中,a?1,b?3,?A?300,求的值
例3.在?ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c?2,C??3.
(Ⅰ)若?ABC的面积等于3,求a,b;
(Ⅱ)若sinC?sin(B?A)?2sin2A,求?ABC的面积.
题型3【证明等式成立】
证明等式成立的方法:(1)左?右,(2)右?左,(3)左右互相推.
例4.已知?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,求证:a?bcosC?ccosB.
题型4【解三角形在实际中的应用】
仰角 俯角 方向角 方位角 视角
例5.如图所示,货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B点观测灯塔A的方位角为110°,航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是多少?
4
数列知识点
1. 等差数列的定义与性质
定义:an?1?an?d(d为常数),an?a1??n?1?d 等差中项:x,A,y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sna1?an?n???na2n?n?1?d 1?2性质:?an?是等差数列
(1)若m?n?p?q,则am?an?ap?aq;
(2)数列?a2n?1?,?a2n?,?a2n?1?仍为等差数列,Sn,S2n?Sn,S3n?S2n……仍为等差数列,公差为n2d;
(3)若三个成等差数列,可设为a?d,a,a?d (4)若an,bn是等差数列,且前n项和分别为Sn,Tn,则
amS2m?1? bmT2m?1(5)?an?为等差数列?Sn?an2?bn(a,b为常数,是关于n的常数项为0的二次函数)
Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值;或者求出?an?中的正、负
分界项,
?an?0即:当a1?0,d?0,解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值.
a?0?n?1?an?0当a1?0,d?0,由?可得Sn达到最小值时的n值.
?an?1?0(6)项数为偶数2n的等差数列?an?,有
S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项)
S偶?S奇?nd,
S奇S偶?an. an?15
(7)项数为奇数2n?1的等差数列?an?,
有
S2n?1?(2n?1)an(an为中间项),
S奇?S偶?an,
S奇nS?偶n?1. 2. 等比数列的定义与性质
定义:
an?1a?q(q为常数,q?0)
,a?1n?a1qnn. 等比中项:x、G、y成等比数列?G2?xy,或G??xy.?na1(q?1)前n项和:S??n?a?1?1?qn?(要注意!)?1?q(q?1)
性质:?an?是等比数列
(1)若m?n?p?q,则am·an?ap·aq
(2)Sn,S2n?Sn,S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn. 注意:由Sn求an时应注意什么?
n?1时,a1?S1;
n?2时,an?Sn?Sn?1. 3.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法
如:数列?a?,12a12a1n1?22?……?2nan?2n?5,求an
解 n?1时,12a1?2?1?5,∴a1?14 n?2时,12a?11122a2?……?2n?1an?1?2n?1?5 ①—②得:
12nan?1n?2,∴an?2,∴an???14(n?1)?2n?1(n?2)
6
①②
5[练习]数列?an?满足Sn?Sn?1?an?1,a1?4,求an
3注意到an?1?Sn?1?Sn,代入得
Sn?1∴?Sn?是等比数列,Sn?4n ?4又S1?4,
Sn;
·4n?1 n?2时,an?Sn?Sn?1?……?3(2)叠乘法
an 如:数列?an?中,a1?3,n?1?,求an
ann?1解
aa2a312n?13a1·……n?·……,∴n?又a1?3,∴an?a1a2an?123nn. a1n(3)等差型递推公式
由an?an?1?f(n),a1?a0,求an,用迭加法
?a3?a2?f(3)??n?2时,?两边相加得an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n)
…………?an?an?1?f(n)??∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n) [练习]数列?an?中,a1?1,an?3(4)等比型递推公式
an?can?1?d(c、d为常数,c?0,c?1,d?0)
n?1a2?a1?f(2)?an?1?n?2?,求an(
an?1n3?1??2)
可转化为等比数列,设an?x?c?an?1?x??an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d,∴x?列
∴an?dd?n?1d?n?1d????a1?·ca?a?c?,∴ n??1?c?1?c?1?c?1c?1??d?dd?,c为公比的等比数,∴?an??是首项为a1?c?1?c?1c?1?(5)倒数法
7
如:a1?1,an?1?2an,求an an?2由已知得:
a?2111111?n??,∴?? an?12an2anan?1an2?1?11111·??n?1?, ∴??为等差数列,?1,公差为,∴?1??n?1?an222a1?an?∴an?( 附:
2n?1
公式法、利用
an??S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2)、累加法、累乘法.构造等差或等比
an?1?pan?q或an?1?pan?f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归
纳法、换元法
)
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如:?an?是公差为d的等差数列,求?1
k?1akak?1n解:由
n111?11???????d?0?
ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?n?111?11?1??11??11?1??????∴????????????……????? aadaadaaaaaak?1kk?1k?1k?1?2??23?n?1???k?n??1?1?11???? d?a1an?1?[练习]求和:1?111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n1an?……?……,Sn?2?
n?1(2)错位相减法
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若?an?为等差数列,?bn?为等比数列,求数列?anbn?(差比数列)前n项和,可由Sn?qSn,求Sn,其中q为?bn?的公比.
如:Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1
①
x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn ①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn
x?1时,Sn ②
1?x?nx???nn?1?x?21?x,x?1时,Sn?1?2?3?……?n?n?n?1? 2(3)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.
Sn?a1?a2?……?an?1?an??相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?…
Sn?an?an?1?……?a2?a1?x2[练习]已知f(x)?,则 21?x?1?f(1)?f(2)?f???f(3)??2??1?f???f(4)??3?2?1?f??? ?4??1???x2x21x??1??由f(x)?f???????12222x1?x1?x1?x???1?1????x?
?∴原式?f(1)??f(2)??(附:
?1???f?????f(3)??2????1???f?????f(4)??3???1?1??1f?????1?1?1?3
2?4??2a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正
着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:等差数列前n项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列,求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公
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式适用于这个数列之后,再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n项和。 d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下,可把这个式子变成an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,经过整理,可求出an ,从而求出Sn。 f.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。
g.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项的特征,构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前n项和。
不等式知识点归纳
一、两实数大小的比较: a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b. 二、不等式的性质: ①a?b?b?a;②a?b,b?c?a?c;③a?b?a?c?b?c;
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④a?b,c?0?ac?bc,a?b,c?0?ac?bc;⑤a?b,c?d?a?c?b?d; ⑥a?b?0,c?d?0?ac?bd;⑦a?b?0?an?bn?n??,n?1?; ⑧a?b?0?na?nb?n??,n?1?. 三、基本不等式定理
a2?b21、整式形式:①a?b?2ab?a,b?R?;②ab??a,b?R?;
222a2?b2?a?b??a?b?③ab??????a?0,b?0?;④??a,b?R?
222????a?b?ab(a?0,b?0)②a+b?(2a2?b2) 2ba3、分式形式:+?2(a、b同号)
ab114、倒数形式:a>0?a+?2 ;a<0?a+?-2
aa2、根式形式:①
22a?b四、公式:?ab??112?ab2a2?b2 2五、极值定理:设x、y都为正数,则有
s2⑴若x?y?s(和为定值),则当x?y时,积xy取得最大值.
4⑵若xy?p(积为定值),则当x?y时,和x?y取得最小值2p. 六、解不等式
bb;当a<0时,x<; aa2、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式.
1、一元一次不等式: ax>b(a?0)的解:当a>0时,x>
3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式??b?4ac
2??0 ??0 ??0
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二次函数y?ax?bx?c
2?a?0?的图象
有两个相异实数根
一元二次方程ax?bx?c?0
2
?a?0?的根
ax2?bx?c?0
一元二次不等式的解集
?b??x1,2?
2a有两个相等实数根
?x1?x2?
bx1?x2??
2a没有实数根
?xx?x或x?x?12?a?0?
ax2?bx?c?0
?b?xx????
2a??R
?a?0?
?xx1?x?x2?
? ?
4、解一元二次不等式步骤:一化:化二次项前的系数为整数
二判:判断对应方程的根,三求:求对应方程的根,四画:画出对应函数的图像,五解集:根据图像写出不等式的解集 5、解分式不等式:
?f(x)g(x)?0f(x)f(x)>0?f(x)g(x)>0 ; ?0??g(x)g(x)g(x)?0?6、解高次不等式:(x-a1)(x-a2)…(x-an)>0
7、解含参数的不等式:解形如ax+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有:(1)讨论a与0的大小(2)讨论?与0的大小(3)讨论两根的大小 七、一元二次方程根的分布问题:
方法:依据二次函数的图像特征从:开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度列出不等式组,总之都是转化为一元二次不等式组求解。
2
?f(k)?0?b??k 1、x1 12 ?f(k)?0?b?2、k 2a?????0 3、x1 ?f(k1)?0?f(k)?02??4、k1 ??k1??b?k2?2a? ?f(k1)?05、、x1 f(k)?02? ?f(k1)?0?6、k1 ?f(k)?03? 八、线性规划问题 1、定义: 线性约束条件:由x,y的不等式(或方程)组成的不等式组,是x,y的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式. 线性目标函数:目标函数为x,y的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 13 可行解:满足线性约束条件的解?x,y?. 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解 2、区域判断 在平面直角坐标系中,已知直线?x??y?C?0,坐标平面内的点??x0,y0?. ①若??0,?x0??y0?C?0,则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的上方. ②若??0,?x0??y0?C?0,则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的下方. 在平面直角坐标系中,已知直线?x??y?C?0. ①若??0,则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0上方的区域;?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0下方的区域. ②若??0,则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0下方的区域;?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0上方的区域. 3、解线性规划问题的一般步骤 第一步:在平面直角坐标系中做出可行域 第二步:在可行域内找出最优解所对应的点 第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值 14
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