高中数学必修五知识点总结
解直角三角形...............2
数列.......................5
不等式.....................11
1
解三角形复习知识点
一、知识点总结
【正弦定理】
1．正弦定理:
abc???2R (R为三角形外接圆的半径). sinAsinBsinC2.正弦定理的一些变式：
abc； ,sinB?,sinC?2R2R2Ra?b?c?2R ；（4）iiia?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC??sinA?sinB?sinC?i?a?b?c?sinA?sinB?sinC；?ii?sinA?3．两类正弦定理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）
【余弦定理】
?a2?b2?c2?2bccosA?2221．余弦定理： ?b?a?c?2accosB
?c2?b2?a2?2bacosC?2.推论：
?b2?c2?a2?cosA?2bc?
a2?c2?b2?
. ?cosB?
2ac?
?b2?a2?c2?cosC?
2ab?
设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则： ①若a?b?c，则C?90； ②若a?b?c，则C?90； ③若a?b?c，则C?90．
3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.
（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
222222222
【面积公式】
已知三角形的三边为a,b,c,
2
1.S?1aha?1absinC?1r(a?b?c)（其中r为三角形内切圆半径）
2222.设p?1(a?b?c),S?2p(p?a)(p?b)(p?c)
【三角形中的常见结论】
）A?B?C??（1(2)
sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, sinA?BCA?BC?cos,cos?sin;sin2A?2sinA?cosA, 2222（3）若A?B?C?a?b?c?sinA?sinB?sinC 若sinA?sinB?sinC?a?b?c?A?B?C （大边对大角，小边对小角）
（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （5）三角形中最大角大于等于60，最小角小于等于60
(6) 锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.
钝角三角形?最大角是钝角?最大角的余弦值为负值 （7）?ABC中，A,B,C成等差数列的充要条件是B?60.
(8) ?ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列. 二、题型汇总
题型1【判定三角形形状】
判断三角形的类型 （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
???a2?b2?c2?A是直角??ABC是直角三角形（2）在?ABC中，由余弦定理可知:a2?b2?c2?A是钝角??ABC是钝角三角形
a2?b2?c2?A是锐角??ABC是锐角三角形（注意：A是锐角??ABC是锐角三角形）
(3) 若sin2A?sin2B，则A=B或A?B??23
.
例1.在?ABC中，c?2bcosA，且(a?b?c)(a?b?c)?3ab，试判断?ABC形状.
题型2【解三角形及求面积】
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
例2.在?ABC中，a?1，b?3，?A?300，求的值
例3.在?ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，已知c?2，C??3．
（Ⅰ）若?ABC的面积等于3，求a,b；
（Ⅱ）若sinC?sin(B?A)?2sin2A，求?ABC的面积．
题型3【证明等式成立】
证明等式成立的方法：（1）左?右，（2）右?左，（3）左右互相推.
例4.已知?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，求证：a?bcosC?ccosB.
题型4【解三角形在实际中的应用】
仰角 俯角 方向角 方位角 视角
例5．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？
4
数列知识点
1. 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sna1?an?n???na2n?n?1?d 1?2性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
（2）数列?a2n?1?,?a2n?,?a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；
（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则
amS2m?1? bmT2m?1（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）
Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负
分界项，
?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值.
a?0?n?1?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值.
?an?1?0(6)项数为偶数2n的等差数列?an?，有
S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项)
S偶?S奇?nd，
S奇S偶?an. an?15
（7）项数为奇数2n?1的等差数列?an?，
有
S2n?1?(2n?1)an(an为中间项)，
S奇?S偶?an，
S奇nS?偶n?1. 2. 等比数列的定义与性质
定义：
an?1a?q（q为常数，q?0）
，a?1n?a1qnn. 等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy.?na1(q?1)前n项和：S??n?a?1?1?qn?（要注意！）?1?q(q?1)
性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq
（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？
n?1时，a1?S1；
n?2时，an?Sn?Sn?1. 3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法
如：数列?a?，12a12a1n1?22?……?2nan?2n?5，求an
解 n?1时，12a1?2?1?5，∴a1?14 n?2时，12a?11122a2?……?2n?1an?1?2n?1?5 ①—②得：
12nan?1n?2，∴an?2，∴an???14(n?1)?2n?1(n?2)
6
①②
5［练习］数列?an?满足Sn?Sn?1?an?1，a1?4，求an
3注意到an?1?Sn?1?Sn，代入得
Sn?1∴?Sn?是等比数列，Sn?4n ?4又S1?4，
Sn；
·4n?1 n?2时，an?Sn?Sn?1?……?3（2）叠乘法
an 如：数列?an?中，a1?3，n?1?，求an
ann?1解
aa2a312n?13a1·……n?·……，∴n?又a1?3，∴an?a1a2an?123nn. a1n（3）等差型递推公式
由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法
?a3?a2?f(3)??n?2时，?两边相加得an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n)
…………?an?an?1?f(n)??∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n) ［练习］数列?an?中，a1?1，an?3（4）等比型递推公式
an?can?1?d（c、d为常数，c?0，c?1，d?0）
n?1a2?a1?f(2)?an?1?n?2?，求an（
an?1n3?1??2）
可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x??an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?列
∴an?dd?n?1d?n?1d????a1?·ca?a?c?，∴ n??1?c?1?c?1?c?1c?1??d?dd?，c为公比的等比数，∴?an??是首项为a1?c?1?c?1c?1?（5）倒数法
7
如：a1?1，an?1?2an，求an an?2由已知得：
a?2111111?n??，∴?? an?12an2anan?1an2?1?11111·??n?1?， ∴??为等差数列，?1，公差为，∴?1??n?1?an222a1?an?∴an?( 附：
2n?1
公式法、利用
an??S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2)、累加法、累乘法.构造等差或等比
an?1?pan?q或an?1?pan?f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归
纳法、换元法
)
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：?an?是公差为d的等差数列，求?1
k?1akak?1n解：由
n111?11???????d?0?
ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?n?111?11?1??11??11?1??????∴????????????……????? aadaadaaaaaak?1kk?1k?1k?1?2??23?n?1???k?n??1?1?11???? d?a1an?1?［练习］求和：1?111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n1an?……?……，Sn?2?
n?1（2）错位相减法
8
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.
如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1
①
x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn ①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn
x?1时，Sn ②
1?x?nx???nn?1?x?21?x，x?1时，Sn?1?2?3?……?n?n?n?1? 2（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
Sn?a1?a2?……?an?1?an??相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?…
Sn?an?an?1?……?a2?a1?x2［练习］已知f(x)?，则 21?x?1?f(1)?f(2)?f???f(3)??2??1?f???f(4)??3?2?1?f??? ?4??1???x2x21x??1??由f(x)?f???????12222x1?x1?x1?x???1?1????x?
?∴原式?f(1)??f(2)??(附：
?1???f?????f(3)??2????1???f?????f(4)??3???1?1??1f?????1?1?1?3
2?4??2a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正
着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公
9
式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。 f.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
g.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。
不等式知识点归纳
一、两实数大小的比较： a?b?0?a?b；a?b?0?a?b；a?b?0?a?b． 二、不等式的性质： ①a?b?b?a；②a?b,b?c?a?c；③a?b?a?c?b?c；
10
④a?b,c?0?ac?bc，a?b,c?0?ac?bc；⑤a?b,c?d?a?c?b?d； ⑥a?b?0,c?d?0?ac?bd；⑦a?b?0?an?bn?n??,n?1?； ⑧a?b?0?na?nb?n??,n?1?． 三、基本不等式定理
a2?b21、整式形式：①a?b?2ab?a,b?R?；②ab??a,b?R?；
222a2?b2?a?b??a?b?③ab??????a?0,b?0?；④??a,b?R?
222????a?b?ab（a?0，b?0）②a+b?（2a2?b2) 2ba3、分式形式：+?2（a、b同号）
ab114、倒数形式：a>0?a+?2 ；a<0?a+?-2
aa2、根式形式：①
22a?b四、公式：?ab??112?ab2a2?b2 2五、极值定理：设x、y都为正数，则有
s2⑴若x?y?s（和为定值），则当x?y时，积xy取得最大值．
4⑵若xy?p（积为定值），则当x?y时，和x?y取得最小值2p． 六、解不等式
bb；当a<0时，x<； aa2、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．
1、一元一次不等式： ax>b（a?0）的解：当a>0时，x>
3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式??b?4ac
2??0 ??0 ??0
11
二次函数y?ax?bx?c
2?a?0?的图象
有两个相异实数根
一元二次方程ax?bx?c?0
2
?a?0?的根
ax2?bx?c?0
一元二次不等式的解集
?b??x1,2?
2a有两个相等实数根
?x1?x2?
bx1?x2??
2a没有实数根
?xx?x或x?x?12?a?0?
ax2?bx?c?0
?b?xx????
2a??R
?a?0?
?xx1?x?x2?
? ?
4、解一元二次不等式步骤：一化：化二次项前的系数为整数
二判：判断对应方程的根，三求：求对应方程的根，四画：画出对应函数的图像，五解集：根据图像写出不等式的解集 5、解分式不等式：
?f(x)g(x)?0f(x)f(x)>0?f(x)g(x)>0 ; ?0??g(x)g(x)g(x)?0?6、解高次不等式：(x-a1)(x-a2)…（x-an）>0
7、解含参数的不等式：解形如ax+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：（1）讨论a与0的大小（2）讨论?与0的大小（3）讨论两根的大小 七、一元二次方程根的分布问题：
方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解。
2
?f(k)?0?b??k 1、x1 12 ?f(k)?0?b?2、k 2a?????0 3、x1 ?f（k1)?0?f(k)?02??4、k1 ??k1??b?k2?2a? ?f（k1)?05、、x1 f(k)?02? ?f（k1)?0?6、k1 ?f(k)?03? 八、线性规划问题 1、定义： 线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件． 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式． 线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式． 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 13 可行解：满足线性约束条件的解?x,y?． 可行域：所有可行解组成的集合． 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解 2、区域判断 在平面直角坐标系中，已知直线?x??y?C?0，坐标平面内的点??x0,y0?． ①若??0，?x0??y0?C?0，则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的上方． ②若??0，?x0??y0?C?0，则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的下方． 在平面直角坐标系中，已知直线?x??y?C?0． ①若??0，则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0上方的区域；?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0下方的区域． ②若??0，则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0下方的区域；?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0上方的区域． 3、解线性规划问题的一般步骤 第一步：在平面直角坐标系中做出可行域 第二步：在可行域内找出最优解所对应的点 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值 14
高中数学必修五知识点总结 - 图文
