高等数学课后习题答案
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习题十二
1．写出下列级数的一般项：
1111????357(1)
(2)
；
xxxxx2????22?42?4?62?4?6?8；
；
a3a5a7a9????3579(3)
1Un?2n?1； 解：(1)
Un?
(2)
xn2?2n?!!；
n?1 (3)
2．求下列级数的和：
?Un???1?a2n?12n?1；
(1)
??x?n?1??x?n??x?n?1?n?1?1；
(2)
??n?1n?2?2n?1?n?；
111?2?3?555(3)
；
un?1?x?n?1??x?n??x?n?1?解：(1)
111?????2??x?n?1??x?n??x?n??x?n?1???
11111????Sn??2?x?x?1??x?1??x?2??x?1??x?2??x?2??x?3?11?????x?n?1??x?n??x?n??x?n?1???111??????x??????2x?1x?nx?n?1??从而
11limSn?n??2x?x?1?，故级数的和为2x?x?1? 因此
(2)因为
Un??n?2?n?1???n?1?n?
Sn??3?2???2?1???4?3???3?2???5?4???4?3???n?2?n?1?1?21??1?2n?2?n?1??n?2?n?1???n?1?n?从而
所以n??limSn?1?2，即级数的和为1?2．
111Sn??2??n5551??1?n?1????5??5????11?51??1?n???1????4??5??(3)因为
从而
3．判定下列级数的敛散性：
limSn?n??114，即级数的和为4．
(1)
??n?1?n?1?n?；
111???1?66?1111?16(2)
?1??5n?4??5n?1?；
；
n22223n?12?3?3????1??n3333(3)
1111??3??n?555(4)5；
Sn??2?1???3?2??解：(1)从而n????n?1?n?
?n?1?1，故级数发散．
limSn???1?1111111?Sn??1?????????5?661111165n?45n?1?1?1???1??55n?1??(2)
11limSn?n??5，故原级数收敛，其和为5． 从而
2q??3的等比级数，且|q|<1，故级数收敛． (3)此级数为
Un??(4)∵
4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：
1Un?1?0n5，而limn??，故级数发散．
cosnx?n(2)n?12；
???1?n?1?n(1)n?1?；
11??1?????3n?13n?23n?3??． n?1(3)
解：(1)当P为偶数时，
当P为奇数时，
因而，对于任何自然数P，都有
Un?1?Un?2??Un?p?11?n?1n，
?1?N????1???，则当n>N时，对任何自然数P恒有Un?1?Un?2?ε>0，取
?Un?p??成立，由柯西审敛
??1?n?1?n原理知，级数n?1?收敛．
(2)对于任意自然数P，都有
1??log2?????，当n>N时，对任意的自然数P都有Un?1?Un?2?于是，ε>0(0<ε<1)，N=
由柯西审敛原理知，该级数收敛．
(3)取P=n，则
?Un?p??成立，
从而取
级数发散．
5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．
?0?112，则对任意的n∈N，都存在P=n所得Un?1?Un?2??Un?p??0，由柯西审敛原理知，原
111????????n?3n?5(1)4?65?71?21?31?n1?????2221?21?31?n(2)
πsin?n3n?1(3)
?；
?；
(4)
n?1??12?n31n；
1?n(5)n?11?a??a?0?；
(6)
??2n?1?1?．
Un?解：(1)∵
11?2?n?3??n?5?n
1?2而n?1n(2)∵
??收敛，由比较审敛法知
?Un?1?n收敛．
Un?11?n1?n1??1?n2n?n2n
而
?nn?1发散，由比较审敛法知，原级数发散．
ππsinnn33lim?limπ??πn??n??1π3n3n(3)∵
??ππsin??n3n也收敛． 而n?13收敛，故n?1sinUn?(4)∵
12?n3??1n31?1n32
?而
n?1?1n32?收敛，故
n?12?n3收敛．
??1111Un????nn1?anan，而n?1a收敛，故n?11?a(5)当a>1时，
11limUn?lim??0n??n??22当a=1时，，级数发散．
1limUn?lim?1?0n??n??1?an当0 也收敛． 综上所述，当a>1时，原级数收敛，当0 2?1?ln2?1?1?1x??2x?11lim?ln2??2n?1x?0nnn?1n?1x(6)由知而发散，由比较审敛法知 lim1n??发散． 6．用比值判别法判别下列级数的敛散性： n2?n3n?1(1) ?； (2) ?3n?1?n!n?1； 33233???231?22?23?2(3) 3n??n?2n； 2n?n!?nnn?1(1) ?n2Un?n3解：(1) Un?1?n?1?23n1lim?limn?1?2??1n??Un??3n3n，， 由比值审敛法知，级数收敛． Un?1?n?1?!3n?1lim?limn?1?n??Un??3?1n!n3n?1?lim?n?1??n?1n??3?1??? (2) 所以原级数发散．
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