第一讲 比例线段
一、 基础知识 1． 比例线段的概念
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2． 比例的基本性质的证明和应用
aba(2) 若
ba(3) 若
ba(4) 若
ba(5) 若
b(1) 若cdc?dc?dc?dc?d?，则ad?bc
a?bc?d（合比性质） ?bda?bc?d，则（分比性质） ?bda?bc?d，则（合分比性质） ?a?bc?dma?c?...?ma?...?，且b?d?...?n?0，则?（等比性质）
nb?d?...?nb，则
3． 平行线分线段成比例定理
(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
已知：如图l1//l2//l3
ABDE?（利用面积） BCEFS?ABEABS?DBEDE?,? 证明：S?ABE?S?DBE 而
S?BEFBCS?BEFEFABDE? 从而：
BCEF求证：
还可以得到以下比例式：
ABDEBCEFBCEF??? ，，
ACDFABDEBCEF(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
(3)定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
(4)定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 二、 例题部分
例1．（★）如图，已知AD//EG//BC，AD=6，BC=9，
【解】：GF＝EG－EF
AE2?，求GF的长． AB3EG?BCEF?ADAE22?，故EG?9?＝6 AB33BEAB?AE3?211???，故EG?6?＝2 ABAB333故GF＝4
例2．（★★）如图，⊿ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点D，AO与DE、BC分别交于点N、M，求证：（1）
ANON；（2）BM＝MC ?AMOM
《三点一测丛书》初二数学 清华附中数学组，2004年版 P326，例4
例3．（★★）图中AD是⊿ABC的中线，E是AD上的点，且AE＝2DE，连结BE并延长交AC于F．（1）求证：AF＝FC；（2）求
BF的值； EF《三点一测丛书》初二数学 清华附中数学组，2004年版 P327，例5
例4．（★，三角形内角平分线的性质）AD是⊿ABC的内角平分线，求证：【证明】：过C作CE∥DA，交BA延长线于E；易得AE＝AC 则
BDAB；反之亦然． ?DCACBDABAB ??DCAEAC
例5．（★，三角形外角平分线的性质）如图，AE是⊿ABC的一条外角平分线，交BC延长线于E，求证：
ABBE． ?ACCE【证明】：过C作CF∥EA，交AB于F；易得AC＝AF 则
ABABBE ??ACAFCE
例6．（★★，99年湖北黄冈市竞赛）图中，已知M、N为⊿ABC上的两点，且满足BM＝MN＝NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E、F；求证：EF＝3DE 《初中数学竞赛同步辅导》第二分册 华中师范大学出版社 P220，例2
例7．（★★，97年湖北荆州竞赛题）如图，D为⊿ABC的BC边的中点，E为AC边上的点，且AC＝3CE，BE和AD交于F点，求
AF的值； FD
《华罗庚数学奥林匹克教材》初二 知识出版社 P172，例1
例8．（★★）在⊿ABC中，底边BC上的两点EF把BC三等分，BM是AC上的中线，AE、AF分别交BM于G、H两点，求BG:GH:HM； 《初中数学竞赛同步辅导》第二分册 华中师范大学出版社 P221，例4 或者
《全国奥林匹克初二竞赛教材》数学 京华出版社，P182，例6 例9．（★）在⊿ABC的AB边上任取一点C1，连结CC1，过顶点A作平行于CC1的直线交BC边的延长线于A1点，再过B作平行于CC1的直线交AC的延长线于B1点，求证：
111?? AA1BB1CC1【证明】：
CC1AC1CC1BC1；； ??BB1ABAA1AB
CC1CC1BC1?AC1???1 AA1BB1AB111 ??AA1BB1CC1例10．（★★）如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AC、BD交于P，过P作MN∥AB交AD于M，交CB于N，求证：
112 ??ABCDMN《三点一测丛书》初二数学 清华附中数学组，2004年版 P329，例7
例11．（★★）如图，⊿ABC中，AD是角平分线，且∠BAC＝120°，求证：奥数教程，初二年级 华东师范大学出版社 P173，例5
例12．（★★）已知在⊿ABC中，∠BAC＝90°，ABDE和ACFG是正方形，CD交AB于K，BF交AC于L，求证：AK＝AL．
111 ??ABACAD
【证明】：
AKACALAB； ??ABAB?ACACAB?ACABAC则AK??AL
AB?AC
例13．（★★★，98年山东省竞赛）在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P，求证：PM·PN＝PR·PS； 《华罗庚数学奥林匹克教材》初二 知识出版社，P178，例8 或者：
《金牌之路竞赛辅导》初中数学 陕西师范大学出版社，P177，例1
例14．（★★★，95年加拿大奥林匹克）已知AD是锐角⊿ABC的高，H是AD上任意一点，连结BH，
CH并延长交AC、AB于E、F，连结DE、DF，求证：∠EDH＝∠FDH． 过A作BC的平行线
BDAPCDAG?； ?CDAQBCAPBCAQ ?BDAK三式相乘得，＝AK 三、
AG?1，即AG
易得Rt⊿ADK≌Rt⊿ADG AK则∠EDH＝∠FDH
练习题
1．（★）D、E分别是⊿ABC的边AB、AC上的点，已知
A．
ADDE ?DBBCB．
ABAE ?ADACADAE，那么下列各式正确的是（ ） ?ABACDBABADAEC． D． ??ECACDBAC【解】：C
2．（★）如图，已知AD∥EF∥BC，EF过AC、BD的交点O，则下列结论中错误的是（ ）．
OEOFOEOF B． ??ADBCBCBCADOAOEAEC． D． ??BCOCBCABA．
【解】：A
3．（★）在平行四边形ABCD中，M是BC上任意一点，延长DM交AB的延长线于N，则(为（ ）
BCAB?)BMBN1 B．1 232C． D．
23A．【解】B
4．（★★）已知⊿ABC中，
BD2AE3AFBF的值是（ ） ?，?，AD、BE相交于F，则?DC3EC4FDFE714 B． 393556C． D．
1215A．
【解】C
《奥数教程》初二，P177，测试题2
5．（★）如图，在⊿ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，若BC＝a，AC＝b，则DE＝_____；
【解】设DE＝x
DEAExb?x，得? ?BCACabab故x?
a?b由
6．（★★）四边形ABCD为平行四边形，过AD边上的M点作两条直线分别平行于对角线BD及AC，两条直线又分别交AB与CD于P及Q点，试证明BP＝DQ． 【证明】
易得
DQBMBP ??DABABCDA＝BC 所以BP＝DQ
7．（★★，96上海）如图，AD为⊿ABC的内角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F，若
AC3?，AB4FC的值； FB9【解】：
16求
《全国初中数学竞赛试题分类集锦》几何分册 上海远东出版社，P122，6
8．（★★）AD是等腰⊿ABC底边BC上的高，BM及BN是∠B的三等分角线，分别交AD于M、N点，连结CN并延长交AB于E，求证：【证明】
易得EB＝EN
∵AN平分∠BAC，∴∴
AMAE ?MNEBAEEN ?ACNCAEACAB ??ENNCBNABAMAEAM∵，∴ ??BNMNENMNAMAE∴ ?MNEB
相似-第1讲比例线段竞赛班教师版
