1.解：（1）①当0＜t＜3时，如图1，过E作EH⊥CA于H，
∵A（4，0），B（4，3），C（0，3），∴OA=4，OC=3，AC=5， ∵MN∥CA，∴△OEF∽△OCA，
∴OE：OC=EF：CA，即t：3=EF：5，∴EF=t，
∵EH⊥CA，∴∠ECH=∠OCA，∴sin∠ECH=sin∠OCA，∴EG：EC=OA：CA， 即EH：（3﹣t）=4：5，∴EH=（3﹣t）， ∴S=×EF×HE=×t×（3﹣t）=﹣t2+2t；
②当3＜t＜6时，如图2，过C作CH⊥MN于H，则MC=t﹣3，
∵CH⊥MN，∴∠CMH=∠OCA，∴sin∠CMH=sin∠OCA， ∴CH：MC=OA：CA，即CH：（t﹣3）=4：5，∴CH=（t﹣3）， 易求直线AC解析式为：y=﹣x+3，
∵MN∥CA，∴直线MN的解析式为：y=﹣x+t，
令y=3，可得3=﹣x+t，解得x=（t﹣3）=t﹣4，∴E（t﹣4，3）， 在y=﹣x+t中，令x=4可得：y=t﹣3，∴F（4，t﹣3）， ∴EF=
=（6﹣t），
S=×EF×GH=×（t﹣3）=﹣t2+6t﹣12；
（2）①当0＜t＜3时，E（0，t），F（t，0），G（2，）， ∴EF2=
t2，EG2=22+（t﹣）2，GF2=（t﹣2）2+（）2，
t2+22+（t﹣）2=（t﹣2）2+（）2，解得t=0（舍去），t=﹣（舍去）， t2+（t﹣2）2+（）2=22+（t﹣）2，解得t=0（舍去），t=
t2，解得t=，
，
若EF2+EG2=GF2，则有若EF2+FG2=EG2，则有
若EG2+GF2=EF2，则有22+（t﹣）2+（t﹣2）2+（）2=②当3＜t＜6时，E（t﹣4，3），F（4，t﹣3），G（2，），
∴EF2=（t﹣8）2+（t﹣6）2，EG2=（t﹣6）2+（）2，GF2=22+（t﹣）2，
若EF2+EG2=GF2，则有（t﹣8）2+（t﹣6）2+（t﹣6）2+（）2=22+（t﹣）2，整理得32t2﹣363t+1026=0，△=441，解得t=
，t=6（舍去），
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若EF2+FG2=EG2，则有（t﹣8）2+（t﹣6）2+22+（t﹣）2=（t﹣6）2+（）2，整理得6t2﹣79t+258=0，△=49，解得t=6（舍去），t=
＞6（舍去），
若EG2+GF2=EF2，则有（t﹣6）2+（）2+22+（t﹣）2=（t﹣8）2+（t﹣6）2，解得t=， 综上可知当△EFG为直角三角形时，t=
或t=或t=或t=
；
（3）直线MN为y=﹣x+t，G（2，），
GG′所在的直线与直线CA垂直，且过G点，故表达式为y=x﹣，在y=x﹣中，
令x=0，可得：y=﹣，∴G′（0，﹣），GG′中点（1，），代入直线MN为y=﹣x+t，解得t=令y=0，可得：x=，∴G′（，0），GG′中点（令x=4，可得：y=令y=3，可得：x=
，∴G′（4，，∴G′（
，），代入直线MN为y=﹣x+t，解得t=
），代入直线MN为y=﹣x+t，解得t=
， ， ， ，
），GG′中点（3，
，3），GG′中点（或
或
或
，），代入直线MN为y=﹣x+t，解得t=．
综上可知满足条件的t的值为
2解：（1）∵B（﹣6，0），∴OB=6，∵AO=BO，∴AO=6，
∵四边形ABCD是平行四边形ABOC，∴AC=BO=6，∴C（6，6）， ∵直线过y=3x+b点C，∴6=3×6+b∴b=﹣12，
∴直线CD的解析式为：y=3x﹣12，在y=3x﹣12中，令y=0，解得：x=4，∴D（4，0）； （2）设E（0，t），t＞0，即EO=t， ∵∠BEO+∠OED=45°，∴tan∠BEO=∴tan（∠BEO+∠OED）=tan45°=1=
=，tan∠OED=
，
，
∴t=12，t=﹣2（舍），∴E（0，12）， ∵C（6，6），∴直线EC的解析式为：y=﹣x+12； （3）分两种情况：①当P在OF上运动时，
∵直线EC的解析式为：y=﹣x+12，令y=0，得：x=12，∴OF=OE=12，∴∠OFE=45°， ∵AC∥OB，∴∠ACE=∠OFE=45°，∴∠CEG+∠AEG=45°， ∵∠BAD=45°，∴∠HEA=∠GEC，
要使△EHA与△EGC相似，只要∠HAE=∠GCE=45°即可．当∠HAE=45°时，∠OAP=∠HAE=45°， ∴△AOP为等腰直角三角形，∴OP=OA=6，即t=6÷2=3；
②当P在EF上运动时，由①可知，△EHA与△EGC中，∠HEA=∠GEC，∠GCE=45°， ∴只需要∠EHA=45°即可．当∠EHA=45°时， ∵∠HEI=45°，∴∠HIE=90°，
∵AP⊥ED，∴直线AP的解析式为：y=x+n，
把A（0，6）代入，得：n=6，∴直线AP的解析式为：y=x+6，联立方程：∴P（4.5，7.5），∴EP=∵EF=
OE=12
，
﹣
=÷
， =
．
12
，解得：，
，∴FP=12
∴点P从O到P所用的时间=12÷2+
3．（2015?杭州模拟）解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8． 在Rt△AOB中，AB==10．∵EF⊥BD，∴∠FQD=∠COD=90°．
又∵∠FDQ=∠CDO，∴△DFQ∽△DCO．
∴
．即
，∴DF=t．
∵四边形APFD是平行四边形，∴AP=DF． 即10﹣t=t，解这个方程，得t=．
∴当t=
s时，四边形APFD是平行四边形．
（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵S菱形ABCD=AB?CG=AC?BD， 即10?CG=×12×16，∴CG=
．
∴S梯形APFD=（AP+DF）?CG=（10﹣t+t）?=t+48．
∵△DFQ∽△DCO，∴
．即
，∴QF=t．
同理，EQ=t．∴EF=QF+EQ=t． ∴S△EFD=EF?QD=×t×t=t2． ∴y=（t+48）﹣t2=﹣t2+t+48．
（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N， 若S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，则﹣t2+t+48=×96，即5t2﹣8t﹣48=0，解这个方程，得t1=4，t2=﹣
（舍去）
过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，当t=4时， ∵△PBN∽△ABO，∴=
，即
=．
∴PN=
，BN=
．∴EM=EQ﹣MQ=3﹣
=．
PM=BD﹣BN﹣DQ=16﹣﹣4=
．
在Rt△PME中， PE==（cm）．
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4．（2013?惠山区校级二模）解：（1）如图1，
∵∠COP=90°，∠CPD=90°，∠
PAD=90°，∴△COP∽△PAD， ∴
=
，PC=2PD，OC=4积 ∴PA=2，2t+2=8，解得t=3；
（2）如图2，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，延长ED交CB于F，则DF⊥CB，F为切点
则△PED∽△COP，∴
=
，∴PE=2，DE=t，
∵DF=DP即DF2=DP2，得出t2+22=（4﹣t）2，t=； （3）①由（1）得，t=3时，AP=DA；
②由（2）得，EA=EP=2时，DP=DA，OP=4，t=2； t=③PA=PD时，OP=2t，PD=，2t+
=8，t=
；
（4）如图3，
当点P在点O位置时，PD=2，
当点P在点A位置时，作DE⊥OA交OA的延长线于E， ∵△AED∽△COA，CA=2AD，∴AE=2，DE=4， ∴点D运动路线的长为=4．
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5．（2012?大连）解：（1）连接QQ′，
∵PC=QC，∠C=90
°，∴∠CPQ=45°，又l⊥AC， ∴∠RPQ=∠RPC﹣∠CPQ=90°﹣45°=45°，
由对称可得PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA， ∴∠BQQ′=∠BCA，又∠B=∠B，∴△BQQ′∽△BCA， ∴
=
=，即
=，解得：t=2.4；
（2）当0＜t≤2.4时，过Q′作Q′D⊥l于D点，则Q′D=t，
又∵RP∥BC，∴△RPA∽△BCA，∴=
，即
=
， ∴RP=（8﹣t）?=
，∴S=RP?Q′D=?
?t=﹣t2+3t；
当2.4＜t≤6时，记PQ′与AB的交点为E，过E作ED⊥l于D，
由对称可得：∠DPE=∠DEP=45°， 又∵∠PDE=90°，
∴△DEP为等腰直角三角形，∴DP=DE， ∵△RDE∽△BCA，∴===，即DR=DE， ∵△RPA∽△BCA，∴
=
，即
=，∴RP=， ∴RP=RD+DP=DR+DE=DE+DE=，即DE=，∴DE=
，∴S=RP?DE=?
?
=t2﹣t+
；
（3）S能为cm2，理由为：若t2﹣
t+
=（2.4＜t≤6），
整理得：t2﹣16t+57=0， 解得：t==8±，
∴t1=8+
（舍去），t2=8﹣
；
若﹣t2+3t=（0＜t≤2.4）， 整理得：t2﹣8t+3=0，解得：t==4±
，
∴t1=4+
（舍去），t2=4﹣
，
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中考压轴题之动点、中线定理 - 图文
