圆的对称性
教学目标 (一)教学知识点 ．圆的轴对称性． ．垂径定理及其逆定理．
．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明． (二)能力训练要求
．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法． ．培养学生独立探索、相互合作交流的精神． (三)情感与价值观要求
通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．
垂径定理及其逆定理． 垂径定理及其逆定理的证明． 指导探索和自主探索相结合． 投影片两张：
第一张：做一做(记作§．．1A) 第二张：想一想(记作§．．) 教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ [生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．
[师]我们是用什么方法研究了轴对称图形？ [生]折叠．
[师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性． Ⅱ．讲授新课
[师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
[生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． [师]是吗？你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下．
[生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．
[师]很好． 教师板书：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念． ．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧()． ．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦()． ．直径：经过圆心的弦叫直径()．
如下图，以、为端点的弧记作AB，读作“圆弧”或“弧”；线段是⊙的一条弦，弧是⊙的一条直径．
注意：
．弧包括优弧( )和劣弧( )，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以、为端点的弧有两条：优弧(记作ACD)，劣弧(记作AD)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．
．直径是弦，但弦不一定是直径．
下面我们一起来做一做：(出示投影片§．．1A) 按下面的步骤做一做：
．在一张纸上任意画一个⊙，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合． ．得到一条折痕．
．在⊙上任取一点，过点作折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点是两条折痕的交点，即垂足．
．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点，如上图． [师]老师和大家一起动手． (教师叙述步骤，师生共同操作) [师]通过第一步，我们可以得到什么？
[生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴． [师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？ [生]我发现了，＝，AC?BC，AD?BD． [师]为什么呢？
[生]因为折痕与互相重合，点与点重合．
[师]还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？
[师生共析]如下图示，连接、得到等腰△，即＝．因⊥，故△与△都是△，又为公共边，所以两个直角三角形全等，则＝．又⊙关于直径对称，所以点和点关于对称，当圆沿着直径对折时，点与点重合，
与
重合，
与
重合．因此＝，
，
．
[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？
[生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
[师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．
下面，我们一起看一下定理的证明：
(教师边板书，边叙述) 如上图，连结、，则＝． 在△和△中， ∵＝，＝， ∴△≌△， ∴＝．
∴点和点关于对称． ∵⊙关于直径对称，
∴当圆沿着直径对折时，点与点重合，∴
，
．
与
重合，
与
重合．
[师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：()过圆心；()垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．
即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为： 如图－，在⊙中，
?AM?BM，CD是直径?????AD?BD，
CD?AB于M???AC?BC．下面，我们通过求解例，来熟悉垂径定理：
[例]如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中
，点是
的圆心)，其中＝
600m，为CD上一点，且⊥，垂足为，＝90m，求这段弯路的半径．
[师生共析]要求弯路的半径，连结，只要求出的长便可以了．因为已知⊥，所以＝300cm，＝－，此时就得到了一个△，哪位同学能口述一下如何求解？
[生]连结，设弯路的半径为，则 ＝(－)，∵⊥，
1＝2∴＝
11＝×＝()． 22据勾股定理，得 ＝＋， 即＝＋(－) 解这个方程，得＝． ∴这段弯路的半径为545m．
[师]在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．
随堂练习：．．略
下面我们来想一想(出示投影片§．．)
如下图示，是⊙的弦(不是直径)，作一条平分的直径，交于点．
[师]上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ [生]它是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线．
[师]很好．你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？ [生]通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙，作一条不是直径的弦，将圆对折，使点与点重合，便得到一条折痕与弦交于点．就是⊙的对称轴，点、点关于直径对称．由轴对称可知，⊥，
，
．
[师]大家想想还有别的方法吗？互相讨论一下．
[生]如上图．连接、便可得到一个等腰△，即＝，又＝，即点为等腰△底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知⊥，又是⊙的对称轴，当圆沿对折时，点与点重合，重合，
与
重合．
与
[师]在上述的探讨中，你会得出什么结论？
[生]平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
圆的对称性教案2 北师大版(优秀教案)
