2016-2017学年高中数学 第4章 定积分 1 定积分的概念课后演练
提升 北师大版选修2-2
一、选择题
1．已知f(x)＝x－x＋sin x，则??－2f(x)dx的值为( )
3
2
A．等于0 C．小于0
B．大于0 D．不确定
0
2
?解析： 易知f(x)为奇函数，由奇函数的性质??－2f(x)dx＝－?0 f(x)dx， ??而??－2f(x)dx＝?－2f(x)dx＋?0f(x)dx＝0.
答案： A
2．已知曲线y＝f(x)在x轴下方，则由y＝f(x)，y＝0，x＝－1和x＝3所围成的曲边梯形的面积S可表示为( )
A.??－1f(x)dx C．－??－1f(x)dx
332
0
2
B.??－3f(x)dx D．－??－3f(x)dx
1
1
解析： 因为f(x)位于x轴下方，故f(x)＜0. ∴??－1f(x)dx＜0，
故上述曲边梯形的面积为－??－1f(x)dx. 答案： C
23．定积分??－2 (－4－x)dx等于( )
2
3
3
A．4π C．－2π
2
B．2π D．－4π
2
222?解析： ??－2 (－4－x)dx表示半圆x＋y＝4(y≤0)的面积的相反数，∴?－2 (－
4－x)dx＝－2π. 答案： C
4．如图所示，所给图形的面积S的相应表达式中，正确的为( )
2
?S＝??b[f(x)－g(x)]dx S＝?0(22x－2x＋8)dx
① ②
a8
???S＝??1f(x)dx－?4f(x)dx S＝?0[g(x)－f(x)]dx＋?a[f(x)－g(x)]dx
③ ④
A．①② C．②④
b47abB．①③ D．③④
解析： ①应为S＝??a[f(x)－g(x)]dx弄错了上下限．
?②应为S＝??022xdx＋?4(22x－2x＋8)dx.
答案： D 二、填空题
48
? 2
5．若?cos xdx＝1，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sin x及x轴围成的图形的面积为____．
?0
解析： 由正弦函数与余弦函数的图像，知f(x)＝sin x，x∈[0，π]的图像与x轴围
π
?π?成的图形的面积，等于g(x)＝cos x，x∈?0，?的图像与x轴围成的图形的面积的2倍，
2??
所以答案应为2.
答案： 2
???6．若??1g(x)dx＝3，?0f(x)dx＝1，?0f(x)dx＝－2，则?1[f(x)＋g(x)]dx＝_________. ????解析： ??1[f(x)＋g(x)]dx＝?1f(x)dx＋?1g(x)dx＝?0f(x)dx－?0f(x)dx＋3＝6.
答案： 6 三、解答题
7．化简下列各式，并画出各小题所表示面积的图形： (1)?－2xdx＋?1－2xdx；
2
2
2
2
2
2
1
2212
?－3
?
(2)?1(1－x)dx＋?2(x－1)dx.
?0?1
2?2?2
解析： (1)??－3xdx＋?－2xdx＝?－3xdx，所表示面积的图形如图：
－211
??(2)??0(1－x)dx＋?1(x－1)dx＝?0|1－x|dx，它所表示面积的图形如图：
122
8．利用定积分的几何意义和性质求值： (1)?3 (9－x－x)dx；
2
3
?－3
? 2
?
(2) ? (sin x－2)dx；
?π
2
3π
x x∈[0，??4－x x∈[2，
(3)已知f(x)＝?
5x??2－2 x∈[3，5]
解析： (1)如图(1)，
，求f(x)在区间[0,5]上的定积分．
由定积分的几何意义得?
3
23
3
?－3
π×39π3
9－xdx＝＝，?3xdx＝0，由定积分性质得
22?
2
－3
2
3
? (9－x－x)dx＝?
?－3?－3
9π23
9－xdx－?3xdx＝. 2?
－3
? ?2
(2)如图(2)，由定积分的几何意义得?sin xdx＝0，
?π
2
3π
由定积分的性质得
? 2? 2? 2???3ππ?? (sin x－2)dx＝?sin xdx－2?1dx＝0－2??2－2?＝－2π.
???π?π?π
2
2
2
3π3π3π
1
(3)如图(3)，由定积分的几何意义得?2xdx＝A1＝×2×2＝2，
2?
0
13
(4－x)dx＝A＝×(1＋2)×1＝， 2?22?
32
?5－x?dx＝A＝1×2×1＝1.
?3??222???3
5
5x?235?－?dx ∴?f(x)dx＝xdx＋(4－x)dx＋?0????22???0?2?3
5
39
＝2＋＋1＝.
22
9．已知f(x)＝ax＋bx＋c，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，??0f(x)dx＝－2，求a、b、c2
1
的值．
解析： 由f(－1)＝2，得a＋(－b)＋c＝2①
f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝0，∴b＝0②
?f(x)dx＝?(ax2＋bx＋c)dx ?0?0
2??＝??0axdx＋?0bxdx＋?0cdx 2??＝a??0xdx＋b?0xdx＋c?0dx
1
1
1
1
1
1
11
i21ni1n＝alim ? 2＋blin→∞m ? ＋clin→∞m ?1 n→∞ni＝1nni＝1nni＝1
1
n 1n＝alim 3
n→∞nn＋
6
n＋
1n＋blim 2
n→∞nn＋
2
＋c
1111
＝a·＋b·＋c＝a＋b＋c＝－2③
3232由①、②、③可解得a＝6，b＝0，c＝－4.
2016-2017学年高中数学 第4章 定积分 1 定积分的概念课后演练提升 北师大版选修2-2
