矩形对角线性质的妙用
我们都熟悉矩形对角线的性质：矩形的对角线相等且互相平分，下面我们来欣赏这一简单性质的妙用．
一、利用矩形的对角线相等
例1．如图1，点A、D、G、M在半圆O上,四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形.设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．a=b=c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
分析：分别作出三个矩形的另一条对角线OM、OD、OA， 因为它们是同圆的半径，再由矩形对角线相等，问题就可以解决了．
图1
解：连接OM、OD、OA，则OM=OD=OA，又由矩形对角线相等得：OM=NH，OD=EF，OA=BC，所以BC=a=EF=b=NH=c，故选B．
点评：本题的线段比较多，图形也较复杂不易梳理，只要牢牢抓住“矩形对角线相等”，问题就可以解决了．
二、利用矩形的对角线互相平分
例2．如图2，已知?AOB，OA?OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出?AOB的平分线（请保留画图痕迹）． 分析：本题要求只用无刻度的直尺作出角平分线，图中有矩形，只有借助 矩形的性质，这就要抓住矩形对角线的性质．
解：连接AB、EF且交于C，作射线OC，则射线OC即为 ∠AOB的平分线（如图3）．
理由如下：因为矩形对角线互相平分，所以CA=CB，
又因为OA=OB，OC=OC，所以△AOC≌△BOC，所以∠AOC=∠BOC， 即射线OC是∠AOB的平分线．
A F
O E B
图2
A C F
O E B
图3
点评：本题构思新颖，设计巧妙，把尺规作图与几何说理结合起来，考查 了同学们的综合运用知识解决新问题的能力．
三、矩形的对角线相等且互相平分
例3．如图4，在矩形ABCD中，AB?3，AD?4，点P在AD 上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（ ）
B
图4
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A E P F O G D
C
A．
7121314 B． C． D． 5555分析：要求PE+PF的值，立马联想到等腰三角形底上任一点到两腰的距离 和等于一腰上的高的结论，就要用到矩形的对角线的性质．
解：连接OP，过D作DG⊥AC于G，在Rt△ACD中，因为AB?3，AD?4， 由勾股定理得：AC=5，再由面积公式得：DG=
11AD?CD=DG?AC，所以223?412?， 55由矩形对角线相等得：OA=OD，又因为S△APO+S△DPO=S△AOD，由面积公式得：
11112OA?PE+OD?PF=OA?DG，即PE+PF=DG=，故选B． 2225点评：本题虽然是一道简单的选择题，但它考查的知识点比较多，考生必须具有比较扎实的基本功和灵活运用知识的能力才能解决．
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华东师大版数学八年级下册19.1矩形对角线性质的妙用
