专题09 一元二次方程及其应用
专题知识回顾
1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 4.一元二次方程的解法
有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。 （1）直接开方法。
适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1； ②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式； ④开方，即降次； ⑤解一次方程。 （3）公式法。
2?b?b?4ac当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：x?的形式，这个式子叫做一元二次方
2a程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 ①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
?b?b2?4ac?b?b2?4ac，x2? x1?2a2a②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
x1?x2??b 2a③b2-4ac＜0时，方程无实数根。
定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。
（4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 5.一元二次方程根与系数的关系
1
如果方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2，那么x1?x2??2bc，x1x2?。也就是说，aa对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 6.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。 第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第6步：答。
专题典型题考法及解析
【例题1】 (2019安徽)解方程：（x﹣1）2＝4． 【答案】x1＝3，x2＝﹣1．
【解析】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． （2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可． 两边直接开平方得：x﹣1＝±2， ∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， 解得：x1＝3，x2＝﹣1．
【例题2】(2019山西）一元二次方程x?4x?1?0配方后可化为（ ） A.(x?2)?3 B.(x?2)?5 C.(x?2)?3 D.(x?2)?5 【答案】D
【解析】x?4x?1?0,(x?4x?4)?4?1?0,(x?2)?5，故选D。
【例题3】（2019年山东省威海市）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是 ．
22222222【答案】x1＝，x2＝．
【解析】直接利用公式法解方程得出答案．
2
3x2＝4﹣2x 3x2+2x﹣4＝0，
则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0， 故x＝解得：x1＝
， ，x2＝
．
【例题4】（2019年江苏省扬州市）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是 ． 【答案】1或2．
【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． x（x﹣2）＝x﹣2， x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， x﹣2＝0，x﹣1＝0， x1＝2，x2＝1
【例题5】（2019北京市） 关于x的方程x2?2x?2m?1?0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【答案】m=1，此方程的根为x1?x2?1
【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式b2?4ac?0进而求出m的范围；结合m的值为正整数，求出m的值，进而得到一元二次方程求解即可. ∵关于x的方程x2?2x?2m?1?0有实数根，
∴??b2?4ac???2??4?1??2m?1??4?8m?4?8?8m?0 ∴m?1
又∵m为正整数，∴m=1，
此时方程为x2?2x?1?0解得根为x1?x2?1， ∴m=1，此方程的根为x1?x2?1
【例题6】（2019四川泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是 ． 【答案】16
【解析】考查一元二次方程根与系数的关系 ∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣4， ∴（x1+4）（x2+4） ＝x1x2+4x1+4x2+16 ＝x1x2+4（x1+x2）+16
3
2
＝﹣4+4×1+16 ＝﹣4+4+16 ＝16
【例题7】 (2019安徽)据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（ ） A．2019年 【答案】B．
【解析】根据题意分别求出2019年全年国内生产总值、2020年全年国内生产总值，得到答案．2019年全年国内生产总值为：90.3×（1+6.6%）＝96.2598（万亿），
2020年全年国内生产总值为：96.2598×（1+6.6%）≈102.6（万亿）， ∴国内生产总值首次突破100万亿的年份是2020年。
一、选择题 B．2020年
C．2021年
D．2022年
专题典型训练题
1.( 2019甘肃省兰州市) x＝1是关于的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（ ） A. －2 B. －3 C. 4 D. －6 【答案】A．
【解析】将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1， 2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.
2.（2019?湖南怀化）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（ ） A．x1＝1，x2＝﹣1 【答案】C．
【解析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 利用完全平方公式变形，从而得出方程的解． ∵x2+2x+1＝0， ∴（x+1）2＝0， 则x+1＝0， 解得x1＝x2＝﹣1，
3.（2019?浙江金华）用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是（ ） A. (x-3)2=17 B. (x-3)2=14 C. （x-6)2=44 D. (x-3）2=1 【答案】 A
【解析】配方法解一元二次方程 ∵x2-6x-8=0，
B．x1＝x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1
D．x1＝﹣1，x2＝2
4
∴x2-6x+9=8+9， ∴（x-3）2=17.
4. （2019湖北咸宁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．m＜1 【答案】
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根， ∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0， 解得：m≤1．
5.(2019内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0
的两根，则m的值是（ ） A. 34
B.30
C.30或34
D.30或36
B．m≤1
C．m＞1
D．m≥1
【答案】A.
【解析】分两种情况讨论：
① 若4为等腰三角形底边长，则a，b是两腰，
∴方程x2-12x+m+2=0有两个相等实根， ∴△=(-12)2-4×1×(m+2)=136-4m=0, ∴m=34.
此时方程为x2-12x+36=0，解得x1=x2=6. ∴三边为6，6，4，满足三边关系，符合题意. ② 若4为等腰三角形腰长，则a，b中有一条边也为4，
∴方程x2-12x+m+2=0有一根为4. ∴42-12×4+m+2=0， 解得，m=30.
此时方程为x2-12x+32=0，解得x1=4，x2=8. ∴三边为4，4，8，不满足三边关系，故舍去. 综上，m的值为34.
6.（2019?山东省聊城市）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（ ） A．k≥0 B． k≥0且k≠2 C．k≥【答案】D．
【解析】考点是一元二次方程的定义以及根的判别式。根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． （k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，
∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，
D．k≥且k≠2
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