华约自主招生能力测试数学试题

高水平大学自主选拔学业水平测试

数学与逻辑（华约）

一、（本小题满分10分）

x1,x2,x3,x4,x5为五个正整数，任取四个其和组成的集合为?44,45,46,47?，求x（…，2，ii?1，

． 5）

二、（本小题满分15分）

乒乓球比赛，甲胜的概率是p(p?)，若采用五局三胜制，甲获胜的概率是q，求p为多少时，p?q取得最大值． 三、（本小题满分15分）

12f?1(x)是f(x)的反函数，定义：(fg)(x)?f(g(x))．

（Ⅰ）求证：(fg)(x)?(f?1g?1)(x)；

?1（Ⅱ）F(x)?f(?x)，G(x)?f四、（本小题满分15分）

(?x)，若F(x)?G?1(x)，求证：f(x)为奇函数．

函数f(x)?2?1(cosx?sinx)sin(x?)?2asinx?b?的最大值为1，最小值为?4，求a，b． 242五、（本小题满分15分）

x2y2222已知椭圆2?2?1与圆x?y?b，过椭圆上一点P作圆的两条切线，切点弦所在直线与x轴，

aby轴分别交于点E，F，求?EOF面积的最小值．

六、（本小题满分15分）

n已知数列?an?满足：a1?0，an?1?np?qan．

（Ⅰ）若p?1，求an；

（Ⅱ）若p?1，q?1，求证：数列?an?有界． 七、（本小题满分15分）

已知n?N?，x?n，求证：n?n(1?)e?x．

xnnx2