则 X(k)??nWNnk?n?0N?1?NRN(k) k1?WNX(k)(1?W)??nWkN2n?0N?1nkN(n?1)k??n2WNn?0N?1k2k3k2(N?1)k2k3k?WN?4WN?9WN???（N?1）WN?[WN?4WN??2(N?1)k?（N?2）WN?(N?1)2]nk??(N?1)??(2n?1)WN2n?1nk??N(N?2)?2?nWNn?1N?1N?1
??N(N?2)?2X1(k)??N(N?2)?2Nk1?WNkN(N?2)WN?N2所以 X(k)?,0?k?N?1 k2(1?WN)~6. 如图P3-6(a)画出了几个周期序列x(n)，这些序列可以表示成傅里叶级数
1 x(n)?N~?X(k)ek?0N?1~j(2?/N)nk
问：
（1） 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的X(k)成为实数？
（2） 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的X(k)）（除X(0)外）成为虚数？ （3） 哪些序列能做到X(k)＝0，k=±2，±4，±6，…
~~~~
图 P3-6（a）
解：
（1）要使X(k)为实数，即要求 X(k)?X(k)
根据DFT的性质，x(n)应满足实部偶对称，虚部奇对称（以n=0为轴）。又由图知，x(n)为实序列，虚部为零，故x(n)应满足偶对称 x(n)?x(?n)
即x(n)是以n=0为对称轴的偶对称，可看出第二个序列满足这个条件。 如图P3-6(b)所示。
~~~~~~~*~
图 P3-6（b）
（2）要使X(k)为虚数，即要求 X(k)??X(k)
根据DFT的性质，x(n)应满足实部奇对称，虚部偶对称（以n=0为轴）。又已知x(n)为实序列，故 x(n)??x(?n)
即在一个周期内，x(n)在一圆周上是以n=0为对称轴的奇对称，所以这三个序列都不满足这个条件。
（3）由于是8点周期序列，对于第一个序列有
~~~~~~~*~X1(k)??en?0~3?j2?nk8?1?e?j?k1?e?jk4??1???1??k
1?e?jk4当k??2,?4,?6???时， X1(k)?0。 对于第二个序列有
~X1(k)??en?0~2?jnk4??1?e3?j?k4?jk4?
1?e当k??2,?4,?6???时， X1(k)?0。对于第三个序列有
x3(n)?x1(n)?x1(n?4)
根据序列移位性质可知
X3(k)?X1(k)?e~~~~~~~?j?kX1(k)?(1?e~j?k)1???1??k
1?eX3(k)?0。当k??2,?4,?6???时，
综上所得，第一，第三个序列满足X(k)?0,k??2,?4,???
~?jk47. 在图P3-7(a)中画了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。
图 P3-7（a）
?5?解： y(n)???x1(m)x2((n?m))6?R6(n)
?m?0?结果如图P3-7(b)所示。
图 P3-7（b）
8. 图P3-8(a)表示一个5点序列x(n)。 （1）试画出x(n)*x(n)；
（2）试画出x(n)⑤x(n)； （4） 试画出x(n)⑩x(n)；
图 P3-8（a）
解：
个小题的结果分别如图P3-8(b)，P3-8(c),，P3-8(d)所示。
图 P3-8（b）
图 P3-8（c）
图 P3-8（d）
9. 设有两个序列
?x(n),0?n?5 x(n)???0,其他n?y(n),0?n?14 y(n)??0,其他n? 各作15点的DFT，然后将两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所得结果为f(n)，
问f(n)的哪些点（用序号n表示）对应于x(n)*y(n)应该得到的点。 解：
序列x(n)的点数为N1=6，y(n)的点数为N2=15，故x(n)*y(n)的点数应为 N?N1?N2?1?20
又f(n)为x(n)与y(n)的15点的圆周卷积，即L=15。所以，混叠点数为N-L=20-15=5。 即线性卷积以15为周期延拓形成圆周卷积序列f(n)时，一个周期内在n=0到n=4(=N-L-1) 这5点出发生混叠，即f(n)中只有n=5到n=14的点对应于x(n)*y(n)应该得到的点。
10. 已知两个有限长序列为
?n?1,0?n?3 x(n)??0,4?n?6???1,0?n?4 y(n)???1,5?n?6试作图表示x(n)，y(n)以及f(n)?x(n)⑦y(n)。
解：
结果如图P3-10所示。
数字信号处理参考试题3
