【最新】《集合与常用逻辑用语》专题解析
一、选择题
1．“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充要条件 【答案】A 【解析】
试题分析：由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件． 解：∵“x＜﹣1”?“x2﹣1＞0”， “x2﹣1＞0”?“x＜﹣1或x＞1”．
∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件． 故选A．
点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要注意基本不等式的合理运用．
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知集合A??xA．?0,1,3? 【答案】A 【解析】 【分析】
根据分式不等式的解法和集合的表示方法，求解A,B，再结合集合的交集运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合A??x8?x?3????0?，B??xx?N,?N?，则AIB=（ ）
x?1?x?7???B．??3,?2,1,3?
C．?0,1,3,7?
D．??3,?2,0,1,3?
8?x?3????0????3,7?，B??xx?N,?N???0,1,3,7?，
x?1?x?7???所以AIB??0,1,3?． 故选：A． 【点睛】
本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合A,B，结合集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
3．已知m为实数，直线l1：mx?y?1?0，l2：?3m?2?x?my?2?0，则“m?1”是“l1//l2”的（ ） A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 【答案】A 【解析】 【分析】
D．既不充分也不必要条件
根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
当m=1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0满足l1∥l2，即充分性成立，
当m=0时，两直线方程分别为y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不满足条件． 当m≠0时，则l1∥l2?由由
3m?2m?2??， m1?13m?2m?得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2， m1m?2?得m≠2，则m=1， 1?1即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件， 故答案为：A 【点睛】
（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线a1x?b1y?c1?0和直线a2x?b2y?c2?0平行，则a1b2?a2b1?0且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.
0；命题q:直线l:x?y?m?0与圆4．已知命题p:?x?R,sinx?cosx?1…C:(x?2)2?(y?1)2?8相切的一个充分不必要条件是m??5；则下列命题中是真命题
的是（ ） A．p 【答案】C 【解析】 【分析】
由辅助角公式化简命题p，利用特殊值判断命题p为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m的值，判断出命题q为真命题.即可由复合命题真假判断选项. 【详解】
命题p:?x?R,sinx?cosx?1?0 由辅助角化简可得sinx?cosx?1?B．p?(?q)
C．(?p)?q
D．p?q
???2sin?x???1，
4??可知当x????3??时，2sin?x???1?0，故p为假；
4?4?22命题q:直线l:x?y?m?0与圆C:(x?2)?(y?1)?8相切的一个充分不必要条件是
m??5
22若直线l:x?y?m?0与圆C:(x?2)?(y?1)?8相切，则d?|2?1?m|?22， 2即d?|m?1|?4，解得m?3或m??5，故q为真， 故(?p)?q为真， 故选：C. 【点睛】
本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.
5．已知命题p:?m?R，m?1?0，命题q:?x?R，x2?mx?1?0恒成立，若p，q至少有一个是假命题，则实数m的取值范围是( ) A．??2,?1? 【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可判断命题p为真命题，所以可得命题q必定为假命题，进而得到参数的取值范围； 【详解】
因为p，q中至少有一个为假命题，而命题p:?m?R，m?1?0为真命题； 所以命题q必定为假命题，所以??m2?4?1?0，解得m??2或m?2. 又命题p:?m?R，m?1?0为真命题，所以m??1，于是m??2. 故选：B. 【点睛】
本题考查全称命题真假性的判断、复合命题真假性求参数取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
B．???,?2?
C．?2,?1
??D．??1,???
6．已知下列四个命题
P1：若直线l和平面?内的无数条直线垂直，则l??； P2：若f(x)?ex?e?x，则?x?R,f(?x)??f(x)
P3：若f(x)?x?1则?x0?(0,??),f?x0??1 x?1P4：在VABC中，若A?B，则sinA?sinB
其中真命题的个数是（ ）
A．1 【答案】B 【解析】 【分析】
B．2 C．3 D．4
根据线面垂直关系判断P1错误；根据函数奇偶性判定P2正确，利用基本不等式性质判断
P3不正确，结合三角形边角关系判定P4正确.
【详解】
解：P1：若直线l和平面?内的无数条直线垂直，则l??不一定成立，必须是任意直线；故命题P1错误，
P2：若f(x)?ex?e?x，则f(?x)?e?x?ex??f(x)，即?x?R,f(?x)??f(x)成
立；命题正确，
P3：当x??1时，f(x)?x?当且仅当x?1?111?x?1??1…2(x?1)??1?2?1?1， x?1x?1x?112，即(x?1)?1，得x?0时取等号，则?x0?(0,??),f?x0??1不x?1成立，故命题为假命题，
P4：在VABC中，若A?B，则a?b，由正弦定理得sinA?sinB，即命题为真命题.
则正确的命题的个数是2， 故选：B. 【点睛】
此题考查判断命题的真假，涉及知识面广，关键在于对每一个命题的真假性正确辨析.
7．在?ABC中，“tanBtanC?1”是“?ABC为钝角三角形”的（ ） A．充分非必要条件 条件 【答案】C 【解析】
分析：从两个方向去判断，先看tanAtanB?1能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
tanAtanB?1成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果. 详解：由题意可得，在?ABC中，因为tanAtanB?1，
sinAsinB?1，因为0?A??,0?B??， 所以
cosAcosB所以sinAsinB?0，cosAcosB?0，
结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为sinAsinB?cosAcosB， 所以cosAcosB?sinAsinB?0，即cos(A?B)?0，所以
?2?A?B??，
因此0?C??2，所以?ABC是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若?ABC是钝角三角形，也推不出“tanBtanC?1，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.
8．已知实数a?0，b?0，则“a?b?1”是“ea?2b?eb?2a”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
x构造函数f(x)?e?2x(x?0),利用函数f(x)的单调性和充分与必要条件的定义判断即
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
可. 【详解】
ea?2b?eb?2a?ea?2a?eb?2b，
令f(x)?e?2x(x?0)，则f?(x)?e?2， 令f?(x)?0，解得x?ln2，
xx?x?为R上的增函数,
''所以当x??0,ln2?时,f?x??0;当x??ln2,???时,f?x??0,
因为f'故f(x)在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,??)上单调递增， 所以当a?b?1时，f(a)?f(b)，即ea?2a?eb?2b, 即“a?b?1”是“ea?2b?eb?2a”的充分条件；
但当0?a?b?ln2时，有f(a)?f(b),即ea?2a?eb?2b, 所以当ea?2b?eb?2a时,可得a?b?1或0?a?b?ln2， 故“a?b?1”是“ea?2b?eb?2a”的不必要条件.
综上可知“a?b?1”是“ea?2b?eb?2a”的充分不必要条件. 故选:A 【点睛】
x本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数f(x)?e?2x(x?0),利用函数的单调性
进行判断;属于中档题.
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