2.5 指数与指数函数
考纲要求
1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为
11
2,3,10，，的指数函数的图象．
23
4．体会指数函数是一类重要的函数模型．
1．根式
(1)根式的概念
(2)两个重要公式
n
①
? n为奇数，
?a＝?? ，a≥0，|a|＝?
? ，a<0??
nnn
*
n为偶数；
n
②(a)＝______(n＞1且n∈N)(注意a必须使a有意义)．
2．实数指数幂
(1)分数指数幂的表示
①正数的正分数指数幂的意义是
a＝______(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
②正数的负分数指数幂的意义是
mna?mn＝______＝
1
n(a＞0，m，n∈N，n＞1)．
*
am③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 rs①aa＝____(a＞0，r，s∈Q)；
rs②(a)＝____(a＞0，r，s∈Q)；
r③(ab)＝____(a＞0，b＞0，r∈Q)． (3)无理指数幂
α一般地，无理指数幂a(a＞0，α是无理数)是一个____的实数，有理指数幂的运算法
则__________________于无理指数幂．
3．指数函数的图象和性质 函数 y＝ax(a＞0，且a≠1) 0＜a＜1 a＞1 图象 在x轴______，过定点________ 当x逐渐增大时，图象逐当x逐渐增大时，图象逐渐下降 渐上升 __________ __________ 在R上__________ 在R上__________ 当x＝0时，__________ 当x＜0时，__________； 当x＜0时，__________； 当x＞0时，__________ 当x＞0时，__________
4
图象特征 定义域 值域 单调性 函数值变化规律 性质 1．化简16xy(x＜0，y＜0)得( )．
222
A．2xy B．2xy C．4xy D．－2xy
2x2．函数y＝(a－3a＋3)a是指数函数，则有( )． A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a＞0且a≠1
x3．把函数y＝f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y＝2的图象，则( )．
x＋2x＋2
A．f(x)＝2＋2 B．f(x)＝2－2
x－2x－2
C．f(x)＝2＋2 D．f(x)＝2－2
84
xax4．函数y＝(0＜a＜1)图象的大致形状是( )．
|x|
5．函数f(x)＝ax?2x?33＋m(a＞1)恒过点(1,10)，则m＝__________.
一、指数式与根式的计算
【例1】 计算下列各式的值．
??27?－102(1)???＋(0.002)－10(5－2)＋(2－3)；
?8??231(2)
15＋2
14－(3－1)－9－45；
0
(3)a3b23ab2(ab)ab124?1313(a＞0，b＞0)．
方法提炼
指数幂的化简与求值
(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．
提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．
(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
请做演练巩固提升4
二、指数函数的图象与性质的应用
?1?xx【例2－1】在同一坐标系中，函数y＝2与y＝??的图象之间的关系是( )．
?2?
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
【例2－2】已知函数f(x)＝???1??3?ax2?4x?3.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值．
x【例2－3】 k为何值时，方程|3－1|＝k无解？有一解？有两解？ 方法提炼
1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
xxxx2．如图是指数函数(1)y＝a，(2)y＝b，(3)y＝c，(4)y＝d的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系及规律如下：图中直线x＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底
1111
数的值，即c＞d＞1＞a＞b，∴c＞d＞1＞a＞b，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
3．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤： (1)求复合函数的定义域；
(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性；
(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．
f(x)
4．函数y＝a的值域的求解，先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定y＝af(x)的值域．
请做演练巩固提升2
三、指数函数的综合应用 (a－a)(a＞0且a≠1)． a－1
(1)判断f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性；
(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围． 方法提炼
1．利用指数函数的性质解决相关的综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
2．解决恒成立问题，一般需通过分离变量，通过转化为求函数的最值来实现． 请做演练巩固提升5
2【例3】已知f(x)＝
ax－x
2021届高考数学一轮复习 第二章函数2.5指数与指数函数教学案 新人教B版
