一元二次不等式的解法
【学习目标】
（1）通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；（2）会用图象法解一元二次不等式；（3）让学生在问题生成和解决的过程中体验类比、数形结合、化归等思想方法；培养学生自主阅读，分析探究的能力.
一、课前预习导学：
一元一次不等式的概念： 像
2x?50，2x?1?0，kx?b?0(k?0)这些只含有一个未知数，并且未知数的最3高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.
问题1：你能由一元一次不等式的概念类比得出一元二次不等式的概念吗？ 用图象法解一元一次不等式实例：
(1) 2x?1?0 (2) ?3x?2?0 解：方程2x?1?0的根为x?12， 解：方程?3x?2?0的根为x?， 23作出函数y?2x?1的图象： 作出函
象：
y=2x-1 2y=-3x+2 o1 x2 -1o2x 3 由图象可知： 由图象可知： 不等式2x?1?0的解集是?xx?yy数y??3x?2的图
??1??. 不等式?3x?2?0的解集是2???xx??2??. 3?问题2：你能从以上两个实例中概括出图象法解一元一次不等式的基本步骤吗？
设计意图说明：充分利用阅读材料，突出阅读材料的作用是本教学模式的一大亮点．本
节课阅读的主要目的是，通过阅读一元一次不等式的概念，类比得出一元二次不等式的概念；从阅读材料中概括出解一元一次不等式的步骤，从而类比迁移到解一元二次不等式问题；阅读材料主要体现了类比，迁移的思想． 二、课堂学习研讨：
用图象法解一元一次不等式的方法探究： 一元一次方程 kx+b=0(k≠0)的根 一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象 k >0 k<0 bx?? kybk bx?? kybkOx-Ox-一元一次不等式 kx+b>0(k≠0)的解集 一元一次不等式 kx+b<0(k≠0)的解集 ?b?xx???? k???b??xx??? k???b?xx???? k???b??xx??? k??问题3：你能否依据一定的标准对二次函数的图象进行适当的分类？
问题4：你能否从以上的基本解法类比得出解一元二次不等式的基本解法？
设计意图说明：通过师生合作解决相关问题，使学生理解一元一次方程的根就是一次函数图象与x轴交点的横坐标，一元一次不等式的解集就是一次函数图象在x轴上方或下方的x的取值集合，进一步提炼出三个“一次”的关系．而三个“一次”的关系中又是以一次函数为研究核心的，一次函数的图象起着桥梁和纽带的作用．通过师生的交流活动，为后面研究一元二次不等式问题，抓二次函数图象这个“形”来研究做好了铺垫． (一)一元二次不等式的概念
像x?2x?3?0,?x?x?0这些，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式．
(二)二次函数图象的几种类型 yy
Ox
x O
设计意图说明：通过对一次函数图象的分析，引导学生思考二次函数图象．这里请学生自己制定一定的标准对二次函数的图象进行适当的分类．通过学生自主作图、主动思考，起到了复习回顾二次函数图象及相关性质的作用，同时培养了学生自主探究问题的能力． (三)看图回答下列问题
观察下列图象，当x满足什么条件时，y分别等于0，大于0，小于0？
22yx-1O2Oyyx1Ox
设计意图说明：本题通过学生观察开口向上的二次函数的图象的特殊情况，让学生初步感知数形结合法在求一元二次方程的根，和解一元二次不等式问题中的作用，同时为接下来探究例1的解法做好铺垫． 1． 初步运用 例题：解不等式x?2x?3?0
设计意图说明：本题通过学生回答解题思路，师生合作的方式解决，通过对比阅读材料中一元一次不等式的解法步骤，总结提炼出一元二次不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解法步骤．（解方程—画图象—写解集）
通过师生合作探究、交流，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系： (a?0)
2??b?4ac 一元二次方程 2 ??0 有两个相异的实根 ??0 有两个相等的实根 ??0 ax?bx?c?0的根 二次函数 2x1,x2(x1?x2) yx1?x2?? yb 2a 没有实数根 yy?ax2?bx?c的图象 一元二次不等式 xx1Ox2Ox1=x2xOx ax2?bx?c?0的解集 ?xx?x1或x?x2? 一元二次不等式 ?b?xx???? 2a?? R ax2?bx?c?0的解集 ?xx1?x?x2? ? ? 设计意图说明：通过师生合作探究，形成表格．通过交流使学生理解，一元二次方程
的根就是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标，一元二次不等式的解集就是相应的二次函数图象在x轴上方或下方的x的取值集合．这三个“二次”的关系中，二次函数的图象起着关键的作用，进一步突出了解一元二次不等式问题的“最优”方法是数形结合法． 2．变式演练 变1： x?2x?3?0变2： x?2x?3?022x2?2x?1?0x2?2x?1?0x2?2x???0 x2?2x???0
设计意图说明：通过变题的“变”让学生进一步感悟数形结合思想是本节课的又一亮点．变1是在例1的基础上，通过改变常数项（数到数的变化），使得对应的二次函数的图
形也发生了变化（形到形的变化），即y?x2?2x?3的图象向上平移4个单位，得到 图象与x轴交点个数的变化反映到数上又是??0改变为??0（数y?x2?2x?1的图象；
到数的变化），如果让学生继续变下去，学生能够很自然的想到继续改变常数，且只要常数大于1，图象与x轴就无交点，此时??0．变2是通过改变不等号的方向和不等号的类型，使不等式的形式更加完善． 三 、课内训练巩固：
2 解不等式: ?2x?5x?3?0
设计意图说明：例2是变题的延伸，同时也与前面留下的三个开口向下的图象形成了呼应．解决这个问题有两个途径，一方面可以采取数形结合法，直接通过“解方程—画图象—写解集”的方式解决；另一方面，可以通过不等式两边同时乘以“-1”，或移项化归为变2的问题解决．采用第二个途径可以有效的避免解题过程出错． 四、课后拓展延伸：
2探究拓展：不等式x?50x?600?0的其他解法．
设计意图说明：从知识和方法两个方面总结，引导学生回顾本节课学习的内容，理解探究问题的方式和方法. 设置探究拓展问题的目的有两点，（1）将探究活动延伸到课外，提升学生的探究问题的能力，（2）激发学生的学习兴趣.实际上解决一元二次不等式问题主要有三个方法，方法一：因式分解转化为一元一次不等式组求解，方法二：配方转化为绝对值不等式问题求解，方法三：通过“解方程—画图象—写解集”的方式求解，从一般性角度来讲，方法三是最具一般性的好方法． 五、学后记
七年级数学《一元二次不等式的解法》教案
