抓住树状图法教学中的关键
一、从学生的作业谈起
题目一只蚂蚁在如图1所示的树枝上寻觅食物（A、B）,假定蚂蚁在每个岔路口都 会随机地选择一条路径，它获得食物的概率是多少？
这是一道人教版教材中的习题多数学生作业中的做法为：图中共有7个树枝，其中有 2 2个树枝上有食物，因此蚂蚁获得食物的概率为二.
图 1
显然，学生是把问题中的树枝图（生活原型图）当成了等可能条件下的树状图来做.学 生为什么会犯这种错误呢？
二、对课本内容的思考
为了剖析学生出错的原因，让我们先來研究课本対树状图法的教学编排.対于等可能 条件下的树状图法，人教版数学实验课本是这样引入和教学的：在安排学习了5个等可能 条件下的概率问题（课本中的例1—例5）后，通过例6学习树状图列举法.
例1 （课本例6）甲口袋屮有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋屮 有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中有2个相同的小球，它们分 别写有字母H和L从3个口袋中各随机地収出1个小球.
（1） 取出的3个小球上恰有1个、2个和3个元咅字母的概率分别是多少？ （2） 取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
分析 当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列方形表 就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用“树形图”.
解 根据题意，我们可以画出如图2的“树形图”:
丙 A A
AAA
图2
从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有12个，即： AAAAAABBB R B B
CCDDEECCDDE E HIHIHIHIH1 HI
这些结果出现的可能性相等(以下略).
客观地说，像课本例6这样“陈述性”地介绍树状图列举法，是很难引起学牛对方法 的内涵与本质作出思考的.反而极易造成学生只看到树状图“形”的一面，直接导致学生 机械地模仿与简单的记忆.因此，建议课本设置以下问题：
(1) 如何求等可能条件下的概率？(意图：重温列举要点一一要按一定规律列举出所有 等可能情况，
做到既不重复，又不遗漏.)
(2) 你能用课本例5的二维方形表格列举所有可能的结果吗？(意在突出学习树状图列 举法的必要
性)
(3) 请你认真阅读图3,并根据图3所提供的信息，尝试补全图3,列举出“从3个口 袋中各随机地
取出1个小球”事件发生的所有可能结果.(意图：给出一个不完整的树状 图，以便让学生在“补图”的过程中，通过阅读、思考、探索等活动，自己发明创造树状 图，体会树状图法的列举规律.)
开
始
甲 乙 丙
图3
(4) 利用图3,你能确定多少个可能结果？这些结果出现的可能性相等吗？
(5) 你能通过画树状图列举课本例4、例5中的可能结果吗？什么吋候使用画树状图列
举比较方便？什么时候使用列表法比较方便?
通过对以上系列问题的思考，让学生经历树状图法的产生、形成和应用的过程，体会 树状图的列举规律，领悟树状图法的本质，尽可能地避免照搬照抄、机械模仿等不良学习 行为的发生.
三、学生错误分析及启示
《九年义务教育数学课程标進（实验稿）》要求：运用列举法（包括列表、画树状图） 计算简单事件发生的概率.其屮，树状图法是在等可能条件下计算两次或两次以上实验中 事件发生概率大小的重要方法，在应用方法时应注意等可能的条件是否满足?而作业题所 提供的图形并不满足等可能的条件，这是因为：蚂蚁到第二个岔路口时，左干枝有3个分 枝，而中间干枝和右干枝却都只有2个分枝，它们之间是不均等的.本题的正确解答应为: 蚂蚁走中间2个分枝的可能性大小分别为-xl =丄，走右侧2个分枝的可能性大小为
3 2 6 6
3
-x- = -f所以P（蚂蚁吃到食物的概率）=丄+丄=丄. 3 2 6 6
对于树状图法的教学，关键应抓住树状图法的列举规律，通过对树状图法的列举规律 的分析，领悟方法的内涵与本质.
（1）做适量的变式练习.通过变式练习，让学生在方法的具体应用中，掌握树状图法 的列举规律，
提高灵活应用的能力.
例2 （课本例7） 在电视台举行的“超级女生”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选 手的综合表现，分别给出“待定”或“通过”的结论.
（1） 写出三位评委给出A选手的所有可能的结论；
（2） 对于选手A,只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？
分析 从课本例6的摸球到本题的“三位评委各给出两种结论”，问题情境的变化较 大.这吋，学生常会出现以下典型的错误解法：
画树状图（如图4,图5）：
通待通 定过定过
定过
AAA 待通待
待定 通过
瘦丙a
由树状图可知，结果有（甲，待定），（甲，通过），（乙，待定），（乙，通过），（丙， 待定），（丙，通过）共6种.
显然，这6种结果并不是事件“三位评委给出A选手的所有可能的结论”发生的结果, 而学生又不能正确运用树状图法列举解决问题.这说明学生并不真正明白树状图法的本质
与列举规律一一树状图是要按照结果的发生线索，分步骤分块列举，而不是把操作者与结
果用树状图来套.
正确解法：画树状图（如图6）.
开始
出 乙 待定
待定
通过
待定
通过
通过
/、八
/X
丙 待定 通过 待定 通过 待定 通过 待定 通过
图6
由树状图可知，结果有（待定，待定，待定），（待定，待定，通过），…，（通过，通 过，通过）共8种.
借助“错误”与“正确”的比较，让学生进一步明晰树状图的列举规律，对树状图法 是什么、使用时应注意什么，以及如何使用等内涵与本质有着自己的理解与体会，以切实 理解并常握方法.
（2）透过规律，领悟本质.树状图法是什么？简单地说，是人们为了计数，为了按照一 定的规律，
列举所有可能结果而采用的一种图示方法，它是乘法原理的一种图形解释，其 中蕴含了数学的转化、分类讨论等思想.
对于树状图法的本质，重在让学生体会、感悟，如，像上述两道例题的教学，可穿插 以下两个教学环节：
①在列举解答之前，让学生结合课本例4与例5的解题经验，猜想新问题屮所有可能
的结果数会有多少.（此时，学生会很快作出一些判断，有的认为用加法计算，有的认为 应用乘法计算等）
②在解决问题之后，再让学生思考前面的“猜想”.结合树状图的特征（规律的外在 表示形式），学生会发现：课本例6的12种结果数可计算为2x3x2=12,课本例7的所有 结果可计算为2x2x2=8 （种）?
有了以上的由表及里的分析过程，适量的变式训练和方法的形成与应用的过程，学生 始终处在思考、探索与交流屮，从而充分体会方法的内在实质，达到真正理解和掌握数学 方法的目的.
中考数学复习指导：抓住树状图法教学中的关键.doc
