2013考研数学复习高等数学第五章多元函数微分学

由天下分享时间：2025/1/17 1:12:24 加入收藏我要投稿点赞

第五章多元函数微分学

2013年测试内容

多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限和连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单使用

2013年测试要求

1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2. 了解二元函数的极限和连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。

3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微

分形式的不变性。

4. 理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。 5. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 6. 了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

7. 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8. 了解二元函数的二阶泰勒公式。

9. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充

分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的使用问题。

一、“三基”内容

1.1 .

二元函数的几何意义

z?f(x,y)或F(x,y,z)?z?f(x,y)=0；定义域是平面上的一个区域，图形是一张曲面。

1.2. 二重极限和累次极限

1）二重极限 limf(x,y)?x?x0y?y00?x,y???x0,y0?limf(x,y)????x?x0???y?y0?2lim2???x????y?22f(x,y)?A????0, ???0 当

?0U?P0, ???0?(x?x0)2?(y?y0)2??时，恒有f(x, y)?A??，其中(x,y)?(x0,y0)以任何方向和任何方式进行，而一元函数的极限只有左右两个方向和一条直线路径；倘若沿两条不同的特殊路径，limf(x,y)不相等，则可判定极限不存在。

x?x0y?y0x?y?y?【例1】求I1?lim?1+?x??x?y??y?1和I2?limx?0y?01?cos?x2?y2??x2?y?e2x2y2

解：使用一元化技巧

?y?I?lim?1+?x??x?y??y?1I2?limx?0y?0x?y??????lim?1+t??y?1?x?y?ty?1???ey?1???t?tylim?tt??t?e

1?cos?x2?y2??x2?y2?ex22y???????????lim再一元化, 即令 t=x2?y2先将0， 0同时强行带入1?cost?0

t?0t?xy22, x?y?0?22【例2】f?x,y???x?y?limf?x,y??

?x,y???0,0??0, x?y?0? 解：无法一元化，利用y?kx ?k?0?技巧。

?x,y???0,0?y?kxlimf?x,y??limxyk?2?x,y???0,0?x2?y21?ky?kxlimf?x,y??012

k?0??x,y???0,0?y?kx k?1??x,y???0,0?y?kxlimf?x,y??可见，极限不存在。

1?xy?x【例3】求I?lim?2?x?0x?y2?y?0?2?y2

解：无法一元化，使用夹逼法。

1?xy?x 0??22??x?y?2?y2?1?x????2?x?x0y?y01212?y?xy?x????0, 故极限存在 I?lim?2?x?0x?y2??y?0x?0y?02?y2=0

二重极限的脱帽法：limf(x,y)?A?f(x,y)?A???x,y?; 其中：lim??x,y??0。

x?x0y?y0评注求二元函数f?x, y?的二重极限技巧是：先把?x0, y0?值强行代入，如能直接得到值，则说明f?x, y?在点?x0, y0?连续；否者，需要先定型后定法再求极限，具体技巧有3个：一元化、夹逼法和直线探针y?kx。 2）二次极限（累次极限）

y?y0x?x0limlimf(x,y)?B为累次极限，如果f(x,y)连续，则limlimf(x,y)?limlimf(x,y)。

y?y0x?x0x?x0y?y0

1?xsin, y?0?y【例4】f?x,y??? ?0, y?0?解：二次极限

?limlimf(x,y)?0; limlimf(x,y)?，故二次极限不存在。

y?0x?0x?x0y?y0 而二重极限由于0?xsin1x?0?x????0?limf?x,y??0存在 x?0yy?0 可见，二重极限的存并不能保证二次极限的存在，反之亦然。

1.3. 二元函数的连续性的三种等价定义

①全增量定义法： ?z?f(x0??x, y0+?y)?f(x0,y0)，如 lim?z?0，则 z?f(x,y)在

x?x0y?y0P0?x0,y0?点连续，也就是说，求连续函数极限时，可以将P0?x0,y0?的自变量直接代入计算极限。

②二重极限定义法：limf(x,y)?f(x0,y0) 则 z?f(x,y)在P点连续，它和一元函数的

x?x0y?y0连续性定义完全一致，可见，间断点的类型也一致。具体做法是：把?x0, y0?值同时前行代入，如果能直接得出某一数，则连续，否则不连续。

③ 无穷小定义法：f?x, y??f?x0, y0??o?1? 其中：o?1?表示 limo?1??0

P?P0从上述定义可得等价形式：

x?x0y?y0lim?z?0??z?f(x0??x,y0,?y)?f(x0,y0)?o?1?。

评注由于可微的定义是

x?x0y?y0lim?z?0??z?f(x0??x,y0,?y)?f(x0,y0)?fx?x?fy?y?o??? fx?fy?0??z?f(x0??x,y0,?y)?f(x0,y0)?o???而o?1??o?x2?y2=o???，故它和可微定义是有本质区别的，上述两个数学关系在判断二元

?函数的连续和可微性方面十分有用。

● 重要性质：

?a?一切多元初等函数和一元函数一样，在其定义区间内是连续的。

?b?连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数都是连续函数。 ?c?多元初等函数的各阶偏导数仍然是初等函数，故在在其定义区间内也是连续的。

1.4. 偏导、全导、全微分

① 偏导：

f(x0??x,y0)?f(x0,y0)存在，

x?0?xf(x0??x,y0)?f(x0,y0) 则记为 fx?(x0,y0)?lim

x?0?x1）定义：z?f?x,y?在U?P0?内有定义且lim对于分段函数，在分界点时要利用该定义求，在边界点时要利用该定义求左右偏导。

??和fyx??在区域D都连续，则fxy???fyx??，如果fxy???fyx??，则fxy??和fyx??在区2）z?f(x,y), fxy域D至少有一个不连续。

?x2?y2, x2?y2?0?xy22【例5】（混合偏导次序不能交换的例子）f?x,y???x?y

?0, x?y?0?解：

f?x, 0??f?0, 0?0?0?lim?0x?0x?0x?0xf?0, y??f?0, 0?0?0?fy?0, 0??lim?lim?0y?0x?0y?0xfx??0, 0??lim当 y?0?fx??0, y??limx?0f?x, y??f?0, y?x?0x2?y2?limy2??y2x?0x?y

???0, 0??limfxyy?0fx??0, y??fx??0, 0??y?0?lim??1y?0y?0yf?x, y??f?x, 0?x2?y2当 x?0?fy??x, 0??lim?limx2?x2y?0y?0y?0x?y???0, 0??limfyxx?0fy??x, 0??fy??0, 0?x?0?limy?0x?0?1x???0, 0??fyx???0, 0??混合偏导不能交换。? fxyx2?y222, x?y?0求混合偏导，结果是在?0, 0?点是不连续的。读者可以对f?x,y??xy22x?y3）本质上是一个求一元函数极值的过程，所以和二重极限无关。

4）如果只求z?f?x,y?在某点?x0,y0?的偏导，不必先求出该函数在任一点?x,y?的偏

导，而是先代入x?x0或y?y0后，再对y或x求偏导。

一般地，存在下列关系：

?u?u(t)?z?f(u,v,w)而 ?v?v(t)归结为一元函数求导，符合下列叠加原理：

?w?w(t)?dz?fdu?fdu?fdwdz，称为全导。 ???dt?udt?vdt?wdtdt陈氏第8技关于显隐式求偏导和等效表达式的结论。

● 如果z?f（表达式，表达式，表达式），如 z?f(x?y, 2x, x)，则用符号1，

1 2，3 分别代表对第1、第2、第3项求偏导，如zx?f1?x?f2??f3?。注意fx?fx?而f1?f1?。

2x?z?f?z。因为为隐式求偏导，表示把复合函数z?f?????x,y?, x, y??中的y当?x?x?x?f成不变量，对x的偏导，而为显式求偏导表示把复合函数z?f?中的y和??x,y?, x, y????x2212● 一般情况下

??x,y?都当成不变量，对x的偏导。例如：

??z?x??x,y??f2??f1????x?x,y, x, y?? z?f? ??????f??f?2???x??z?f1??f2??yf3????x z?f?x?y, x?y, xy???

?f??0??x?