福建省福州市2018届高三上学期期末质检数学试题（文）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A.
B.
C.
， D.
，则
（ ）
【答案】C 【解析】因为所以2. 若复数A.
B.
，故选C.
为纯虚数，则实数 C. 1 D. 2
（ ）
,
,
【答案】A 【解析】复数
为纯虚数，所以
,故选A.
3. 已知A.
B.
， C.
，则 D.
（ ）
【答案】B 【解析】4.
， （ ）
，故选B.
A. B. 【答案】D 【解析】
C. 1 D.
，故选D.
5. 已知双曲线的两个焦点且
，
都在轴上，对称中心为原点，离心率为
，则的方程为（ ）
.若点在上，
到原点的距离为
A. 【答案】C 【解析】
B. C. D.
由直角三角形的性质可得，又
，的方程为，故选C.
6. 已知圆柱的高为2，底面半径为这个球的表面积等于（ ） A.
B.
C.
D.
，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则
【答案】D
【解析】设球半径为
该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，
，故选D.
表
可得
，球的表面积为
7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的.图中的《孙子剩余定理》示正整数 除以正整数后的余数为，例如于（ ）
.执行该程序框图，则输出的等
A. 23 B. 38 C. 44 D. 58 【答案】A
【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以3余数为2；除以5余数为3；除以7余数为2，那么这个数首先是23，故选 8. 将函数A. C. 【答案】D 【解析】得到
函数
的周期为
函数
向右平移个周期后，
B. D.
的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
，故选D.
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A. 【答案】A
B. C. D.
【解析】 由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥底面为等腰直角三角形，直角边长为，表面积为
，故选A.
，其中三棱锥的高为，
10. 已知函数若，则（ ）
A. B. 3 C. 或3 D. 或3
【答案】A 【解析】若
，得
，若
，
不合题意，，故选A.
11. 过椭圆的右焦点作轴的垂线，交于两点，直线过的左焦
点和上顶点.若以A.
B.
为直径的圆与存在公共点，则的离心率的取值范围是（ ） C.
D.
【答案】A
【解析】直线的方程为
，圆心坐标为
，半径为
与圆有公共点，
，可得，，，故选A.
12. 已知函数最小值为（ ） A. 1 B. 【答案】C 【解析】数解，即
C.
，若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的
D.
，等价于
有个整数解，
，当
，时，由，，
，即恰有个整
时，递减，，不等
，，
时，不等式无解，
可得
在时，
时，的最小值为
不等式只有一个整数解，排除选项由式无解；不等式无解；故故选C.
可得
在，
递增，合题意，
合题意，合题意，当
时，有且只有个整数解，又
第Ⅱ卷（共90分）
二.填空题（每题5分，满分20分）
13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是__________． 【答案】
【解析】福州三宝的全排列共有种排法，角梳与纸伞相邻的排法，有种排
法，根据古典概型概率公式可得，角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是，故答案为.
14. 曲线【答案】【解析】由切点坐标为15.
在处的切线方程为__________．
，得
，由点斜式得切线方程为
的对边分别为
，已知
，即
，所以切线斜率为，，故答案为
.
的内角，则的大小
为__________． 【答案】【解析】由
，根据正弦定理得
，即
，，又，
，故答案为.
16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是__________元. 【答案】2100000 【解析】
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列（1）证明数列（2）设解：（1）当当所以所以数列
时，
， 是以
为首项，以2为公比的等比数列. ，
，
（1）
（2）
（1）-（2）得：
前项和为
，且
.
是等比数列； ，求数列时，
的前项和，所以
， . ，
（2）由（1）知，所以所以
，
所以
.
18. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：
用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.
（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值和方差； （3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在
之间，则满意度等级为“级”.试应
用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少？（精确到
)
.
参考数据：
解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2）由（1）中的样本评分数据可得
，
则有
（3）由题意知评分在
由（1）中容量为10的样本评分在的用户所占的百分比约为
. 之间，即
之间，
之间有5人，则该地区满意度等级为“级”
另解：由题意知评分在数据中在
.
19. 如图，在四棱锥中点.
中，
，即之间，，从调查的40名用户评分
共有21人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为
,，点为棱的
（1）证明：（2）若（1）证明：取因为点为棱所以因为所以所以四边形
且且 且
平面；
，求三棱锥
的体积.
的中点的中点，
，连接.
， ， ， 为平行四边形，
所以因为所以
， 平面平面
，.
平面
，
（2）解：因为所以因为所以因为所以
平面，
,
平面. 的中点，且.
，所以
，
，
，平面,
因为点为棱所以点到平面
，
的距离为2.
.
三棱锥的体积 .
20. 抛物线（1）若点
与两坐标轴有三个交点，其中与轴的交点为. 在上，求直线
斜率的取值范围；
（2）证明：经过这三个交点的圆过定点. （1）解：由题意得
.
故
.
（2）证明：由（1）知，点坐标为
令，解得，
故
故可设圆的圆心为由
得，
，
.
，
解得，则圆的半径为.
所以圆的方程为，
所以圆的一般方程为，
即.
由 得或，
故都过定点21. 已知函数（1）讨论（2）当
.
.
的单调性；
时，证明：.
解：（1），
①若，则，在上为増函数；
②若，则当时，；当时，.
故在上，为増函数；在上，为减函数.
（2）因为由（1）知，当所以
，所以只需证
时，.
在
， 上为增函数，在
上为减函数，
记，则，
所以，当所以
时，
.
，为减函数；当时，，为增函数，
所以当时，，即，即.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系
中，曲线
（为参数，
）.在以为极点，轴正半轴为
极轴的极坐标系中，直线.
（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围； （2）若曲线上存在点到距离的最大值为
，求的值.
解：（1）因为直线的极坐标方程为所以直线的直角坐标方程为因为
（参数，
）
；
，即，
所以曲线的普通方程为，
由消去得，，
所以解得
，
.
，
故的取值范围为
（2）由（1）知直线的直角坐标方程为故曲线上的点
到的距离
，
，
故的最大值为
由题设得，
解得又因为
. ，所以
.
23. 选修4-5：不等式选讲 设函数（1）求不等式
（2）已知关于的不等式围.
解：（1）因为
， 或
解得所以故不等式
或，
的解集为
.
或或
， ，所以
，
.
的解集；
的解集为
，若
，求 实数的取值范
（2）因为，
所以当而因为
时，
，所以
，即
恒成立，
，
，
由题意，知对于恒成立，
所以
，故实数的取值范围.
福建省福州市2018届高三上学期期末数学质检试题(文)含答案
