2017下半年全国教师资格笔试高分攻略 （数学学科知识与教学能力（初级中学））
第一部分 考情分析
考试时间及题型 考试时间120分钟．
考试题型：选择题（8道题）、简答题（5道题）、解答题（1道题）、论述题（1道题）、案例分析题（1道题）、教学设计题（1道题）．
满分150分．
前几次教师资格证考试初中数学考试内容及要求 学科知识
数学学科知识包括大学专科数学专业基础课程（数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计）、高中数学课程中的必修内容和部分选修内容以及初中数学课程中的内容知识．
课程知识
了解初中数学课程的性质、基本理念和目标．熟悉《课标》所规定的教学内容的知识体系，掌握《课标》对教学内容的要求．能运用《课标》指导自己的数学教学实践．
教学知识
掌握讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法等常见的数学教学方法．掌握概念教学、命题教学等数学教学知识的基本内容．了解包括备课、课堂教学、作业批改与考试、数学课外活动、数学教学评价等基本环节的教学过程．掌握合作学习、探究学习、自主学习等中学数学学习方式．掌握数学教学评价的基本知识和方法．
教学技能
（1）教学设计；（2）教学实施；（3）教学评价．
近3次考试大纲各模块所占分值
近几次考试大纲各模块分值比重一览表
内容 年份 初中数学 高中教学 大学数学 教材教法 合计 2016年上半年 0 14 47 89 150 2016年下半年 0 17 49 84 150 2017年上半年 5 12 49 84 150 从表格中可以分析出中学部分的数学专业知识所占比例一直很小，大学数学专业知识所占比例和教材教法所占比例基本稳定，其中数学专业知识和教材教法每年的比重大概是2：3左右．
教师资格证考试在统考后考题难度加大，但是考查的知识点和题型、题量固定．初级中学主要考查的是大学数学学科知识及少部分高中数学学科知识，在教材教法部分主要考查的是义务教育数学课程标准、教学知识、教学设计和案例分析．
第二部分 经典例题
一、选择题
1．设A和B为任意两个事件，且A?B ，P(B)?0 ，则下列选项中正确的是（ ）． A．P(B)?P(A|B) C．P(B)?P(A|B)
B．P(B)?P(A|B) D．P(B)?P(A|B)
【答案】B．解析：因A?B，且P(B)?1，故P(A)?P(AB)?P(B)P(A|B)?P(A|B)，故选B． 2．极限lim(x??2?x2?x)的值是（ ）． 1?x
B．1
2?xA．0 C．
e
D．
e2
?2?x?【答案】C．解析：lim??x??1?x??1?x??1??lim??1??x?????1?x?1?x1??1?1????1??lim1?lim1? ?????x?????e． x??1?x1?x?1?x???????3．若f(x)在?a,b?上连续且?f(x)dx?0，则下列表述正确的是（ ）．
abA．对任意x??a,b?，都有f(x)?0 C．对任意x??a,b?，都有f(x)?0
b
B．至少存在一个x??a,b?，使f(x)?0 D．不一定存在x??a,b?，使f(x)?0
【答案】B．解析：由f(x)连续且?f(x)dx?0，不妨设x1?x2，则?x1?(a,b)使f(x1)?0，?x2?(a,b)a使f(x2)?0，根据零点定理可知???(a,b)使得f(?)?0，故选B．
?12?4．设A=?． ?，下列向量中为矩阵A的特征向量是（ ）03??T（0,1）A．
TB． （1，2） TC． （-1，1） TD． （1，0）???1?2?D．【答案】解析：令特征矩阵为0，得到?由此可得有关?的方程(??1)(??3)?0，??0，0??3?????1?2??x1?可得??1,3．将??3代入????0，得到x1?x2，没有对应的特征向量，同理代入??1，得
??3??0??x2??0?2??x1??01??x1?T?0?0．可知x2?0，取x1为自由变量1，则对应的特征向量为 （1，0）到?．即．????????0?2??x2??00??x2?二、简答题
225．已知抛物面方程2x?y=z．
（1）求抛物面上点M(1,1,3)处的切平面方程；
（2）当k为何值时，所求的切平面与平面3x?ky?4z?0相互垂直． 【答案】（1）4(x?1)?2(y?1)?(z?3)?0．（2）k??8．
22解析：（1）对抛物面方程分别求x，y，z的偏导数，令F(x,y,z)?2x?y?z．Fx(x,y,z)?4x，
Fy(x,y,z)?2y，Fz(x,y,z)??1．带入M(1,1,3)点，得到该点处的法向量为(4,2,?1)，利用点法式方程，
则切平面方程为4(x?1)?2(y?1)?(z?3)?0．
（2）由（1）知，切平面方程为4(x?1)?2(y?1)?(z?3)?0，则切平面法向量为(4,2,?1)，平面
3x?ky?4z?0法向量为(3,k,?4)．由两平面垂直，得到4?3?2?k?(?1)?(?4)?0，解得k??8．
6．已知向量组a1?(2,1,?2)，a2?(1,1,0)，a3?(t,2,2)线性相关． （1）求t的值；
（2）求出该向量组的一个极大线性无关组． 【答案】（1）t=1；（2）见解析．
解析：（1）根据题意设存在一组常数k1、k2、k3，使得k1a1?k2a2?k1a3?0， 21t?2k1?k2?tk3?0???k1?k2?2k3?0，系数行列式112?4?4?0?2t?2?0?0，即t=1． ??2k?2k?0?20213??211??112??112??112??????????（2）通过初等行变换 ??a1,a2,a3???112?~?211?~?0?1?3?~?013??????202????013????013????000????????????
一个极大线性无关组?1,?2．
7．函数单调性是刻画函数变化规律的重要概念，也是函数的重要性．
（1）请叙述函数严格单调递增的定义，并结合函数单调性定义，说明中学数学课程中函数单调性与那些内容有关（至少列举两项内容）．
（2）请列举至少两种研究函数单调性的方法，并分别简要说明其特点． 【答案】见解析．
解析：（1）严格递增是定义域中任意x1,x2，若x1?x2，有f(x1)?f(x2)，则称函数f(x)在定义域上严格单调递增．函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位．
（2）定义法：设x1,x2，若x1?x2，有f(x1)?f(x2)?0（f(x1)?f(x2)?0），则称函数f(x)在定义域上严格单调递增（减）．定义法判断函数单调性比较适应于那种对定义域内任意两个数x1,x2，当x1?x2，容易得出
f(x1)与f(x2)大小关系的函数．在解决问题时，定义法是最直接的方法，这种方法思路比较清晰但是对
待一些不太容易判断出f(x1)?f(x2)正负的情况，用定义法解析比较麻烦．
u?g(x)在X内单调，复合法：若函数y?f(u)在U内单调，且集合?u|u?g(x),x?X??U，（1）若y?f(u)是增函数，u?g(x)是增（减）函数，则y?（1）若y?f(u)是减函数，uf[g(x)]是增（减）函数；?g(x)是增
（减）函数，则y?f[g(x)]是减（增）函数．归纳：求复合函数的单调性，就是同增异减．
导数法：一般先确定函数的定义域，求出原函数的导数
f'(x)，若导数f'(x)>0，则是函数在定义域内单
调递增，反之则单调递减．导数法只要适用于函数在其定义域内可导，且能判断导函数与零大小的关系，针对定义法解决不了的题型，就是用定义法解题相对比较繁琐，用导数法解题就会比较简单．即给学生提供了一种重要的解题思想，有给学生提供了一种解题方法．
第三部分 高频考点
考点·极限 1．洛必达法则
（1）概念：在分子与分母导数都存在的情况下，分别对分子分母进行求导运算，直到该极限的类型为可以直接带入求解即可．
（2）适用类型：通常情况下适用于2．求
0?或型极限的方法 ?00?型或者是型极限．
?0（1）通过恒等变形约去分子、分母中极限为零或无穷的因子，然后利用四则运算法则． （2）利用洛必达法则． （3）变量替换与重要极限． （4）等价无穷小因子替换． 3．求0?型极限的方法
求0?型的方法和上述方法基本相同，必须注意的是：为使用洛必达法则需根据函数的特点先将0?型化为
0?或型．注意，一般将较复杂的因子取作分子，特别地含有对数因子时，将该因子取作分子． ?04．求???型极限的方法
求???型，一般通过适当的方法将其化为
0?或型．若是两个分式函数之差，则通分转化，若是与?0根式函数之和、差有关的，则需用分子有理化方法转化．
5．利用两个重要极限
x1sinx1??lim?1，lim?1???e（或lim?1?x?x?e）． x?0x?0x??xx??
考点·定积分的性质 1．2．3．4．5．6．
?aaf(x)dx?0．
?babdx?b?a．
f(x)dx???f(x)dx．
ba?a?bakf(x)dx?k?f(x)dx．
ab?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx．
accb?ba?f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx．
aabb7．在区间8．
?a,b?恒有f(x)?0，则?f(x)dx?0．
abbaabf(x)?g(x),?f(x)dx??g(x)dx．
9．
?baf(x)dx??f(x)dx．
ab10．m?f(x)?M,x?[a,b]，
则m(b?a)??baf(x)dx?M(b?a)．
(x)在[a,b]连续，至少存在一个??[a,b]，使
a11．定积分中值定理：f12．
．
f(x)为奇函数，则?f(x)dx?0；
?aaa?a0f(x)为偶函数，则?f(x)dx?2?f(x)dx．
考点·行列式的基本性质
1．行列式的值等于其转置行列式的值，即D?DT． 2．行列式中任意两行（列）位置互换，行列式的值反号． 3．若行列式中两行（列）对应元素相同，行列式值为零． 4．若行列式中某一行（列）有公因子
k，则公因子k可提取到行列式符号外，即
a12?a1n??as2?asn??an2?anna11?kas1?an1a11a12?a1n???kas2?kasn?kas1???an2?ann．
an15．行列式中若一行（列）均为零元素，则此行列式值为零． 6．行列式中若两行（列）元素对应成比例，则行列式值为零．
考点·矩阵 1．矩阵的概念 定义1 矩阵：由数域
F
中mn个数aij（i?1,2,,m;j?1,2,n）排成的m行n列的矩形数表
?a11??a21????a?m1称为数域作
a12a22?am2?a1n???a2n?
?????amn??F
上的一个m×n矩阵，可以写作A?(aij)m?n.在不需要表示出矩阵的元素时，也可以写
Am?n．
定义2 相等矩阵：设A?(aij)s?n与B?(bij)s?n是两个同型矩阵．如果对应的元素都相等，即
aij?bij(i?1,2,...,s;j?1,2,...,n)，
2017下半年全国教师资格笔试高分攻略(初中数学)含试题及答案解析
