◆答案：C
★解析：asinx?bcosx?c?a2?b2sin(x??)?c?a2?b2,c?a2?b2. 只需c?a2?b2?0即可，得a2?b2?c，故选C．
x0?x1?x2?x3?01993*11、设任意实数
x1x2x3x3??，要使
logx01993?logx11993?logx21993?k?logx01993恒成立，则k的最大值是_____ __．◆答案：9 ★解析：显然即
x0?1，从而logx01993?0． x3x3111k???，即
lgx0?lgx1lgx1?lgx2lgx2?lgx3lgx0?lgx3??111????lgx0?lgx1???lgx1?lgx2???lgx2?lgx3???????klgx?lgxlgx?lgxlgx?lgx011223??．
又lgx0?lgx1?0,lgx1?lgx2?0,lgx2?lgx3?0，由柯西不等式，知k?9．即k的最大值为9．
1992*13、 (本题满分20 分)求证：16?★证明：因为
?k?1801?17． k122???2k?k?1， kk?kk?1?k122???2k?1?k． 同时kk?kk?1?k8080801?1??2k?k?1 于是得?2k?1?k??kk?1k?1k?1801?1?280?1?1?2??9?1??17． 即16??kk?1??????????
xy1991*15．已知0?a?1，x?y?0，求证：loga(a?a)?loga2?xy18xy21． 8x?y2★证明：由于0?a?1，不等式即证a?a?2a．由于a?a?2a．
1而x?y?x?x?x?1?x??．于是a42x?y2?a．
18∴a?a?2a
xyx?y2?2a．故证．
181990*7．设n为自然数，a,b为正实数，且满足a?b?2，则是 ． ◆答案：1
11?的最小值nn1?a1?b - 16 -
★解析：由题意得
?a?b?ab????1?2?2，从而
anbn?1，故
111?an?1?bn???1．注意以上式子的等号当且仅当a?b?1时成立．即nnnnnn1?a1?b1?a?b?ab所求最小值为1．
1990*9．设n为自然数，对于任意实数x,y,z，恒有x2?y2?z2则n的最小值是 ． ◆答案：3
★解析：由于x2?y2?z2??2?n(x4?y4?z4)成立，
?x4?y4?z4?2x2y2?2y2z2?2x2z2
?x4?y4?z4??x4?y4???y4?z4???x4?z4??3?x4?y4?z4?．等号当且仅当x?y?z时成立．故n?3．
1989*7．若loga◆答案：?0,1????22,??
?0?a?1?a?1★解析：不等式等价于?或?．解得a??0,1??a?2a?2??
1989*13. (本题满分20分)
已知a1,a2,?,an是n个正数，满足a1a2?an?1． 求证：?2?a1??2?a2???2?an??3．
n?2?1，则a的取值范围是 ．
??2,??
?★证明：∵2?ai?1?1?ai?33ai，(i?1,2,?,n)
∴?2?a1??2?a2???2?an???1?1?a1??1?1?a2???1?1?an??3
1989*二、（本题满分35分）已知xi?R,（i?1,2,?,n，n?2）满足求证：
n3a1a2?an?3n．
?xi?1ni?1，?xi?0，
i?1nxi11??。 ?22ni?1in1,2,?,n?，且i?j)． ★证明：由已知可知，必有xi?0，也必有xj?0 (i,j??设xi1,xi2,?,xil为诸xi中所有?0的数，xj1,xj2,?,xjm为诸xi中所有?0的数．由已知得
11A?xi1?xi2???xil?，B?xj1?xj2???xjm??．
22kxmxilj???h于是当时，?l?1lh?1hnkxkxkxi1mA?B11iljh???x?x????; ?????iljhilhn2222ni?1l?1h?1l?1h?1kxmxnkxkxkxi1m?BA11iljhiljh???当?时，? ????????xil??xjh????．lhnh?12222nl?1h?1i?1il?1lh?1hl?1 - 17 -
总之，
xi11??成立． ?22ni?1i11??1，试证：对每一个n?N?， abkkn1988*12、（本题满分15分）已知a、b为正实数，且
?a?b?n?an?bn?22n?2n?1
2k★证明：由已知得a?b?ab?2ab，故a?b?ab?4．于是?a?b???ab??2．
?2?a?b??2k?1．下面用数学归纳法证明：
1° 当n?1时，左?右?0．左?右成立．
kkk2kk?1 2° 设当n?k(k?1，k?N)时结论成立，即?a?b??a?b?2?2成立．
又 a?b?2kkk?ab?k则?a?b?k?1k??a?b??a?b??ak?bk?abak?1?bk?1?422k?2k?1?4?2k?1?4?2k?22?k?1??2?k?1??1．即命题对于n?k?1也成立．
?故对于一切n?N，命题成立．
??ak?1?bk?1??a?b??a?b???a?b?ak?bk?abak?1?bk?1
k??????????
?1984*五、(本题满分15分) 设x1,x2,?,xn都是正数，
222xnxnx12x2?1求证：??????x1?x2???xn．
x2x3xnx1222xnxnx12x2?1★证明：由于?x2?2x1,?x3?2x2,???xn?2xn?1,?x1?2xn．
x2x3xnx1上述各式相加即得．
1983*5、已知函数数f(x)?ax?c，满足?4?f(1)??1，?1?f(2)?5，那么f(3)应满
足（ ）
A.7?f(3)?26 B. ?4?f(3)?15 C. ?1?f(3)?20 D.
2?2835?f(3)? 33◆答案：
★解析：由于f(1)?a?c，f(2)?4a?c，f(3)?9a?c．令9a－c=λ(a－c)+μ(4a－c)，
5855408840，??f(2)?， f(1)?f(2)．但??f(1)?33333333∴?1?f(3)?20．选C．
∴f(3)??
bd?，那么（ ） mnA．P?Q B．P?Q C．P?Q D．P、Q的大小关系不确定，而与m,n的大小
1983*6、设a,b,c,d,m,n都是正实数，P?ab?cd，Q?ma?nc?有关． ◆答案：B
★解析：由柯西不等式，P?Q．选B．
1983*二、(本题满分16分)函数f(x)在?0,1?上有定义，f(0)?f(1)．如果对于任意不同的
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x1,x2??0,1?，都有f(x1)?f(x2)?x1?x2．求证：f(x1)?f(x2)?★证明：不妨取0?x1?x2?1,若x1?x2?1． 211，则必有f(x1)?f(x2)?x1?x2?． 221111若x1?x2?，则x2?x1?,于是1??x2?x1??,即1?x2?x1?0?．
2222而f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(0)??f(x2)?f(1)??f(x1)?f(0)?f(x2)?f(1)
?x1?0?1?x2?1?x2?x1?0?
1．故证. 21982*4、由方程x?1?y?1?1确定的曲线所围成的图形的面积是（ ）
A.1 B.2 C.? D.4 ◆答案：B
★解析：此曲线的图形是一个正方形，顶点为?0,1?,?1,0?,?2,1?,?1,2?；其面积为2．选B．
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1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编---不等式与线性规划(含答案)
