1981年~2024年全国高中数学联赛试题分类汇编
不等式部分
2024B一、（本题满分40分）设正实数a1,a2,,a100满足ai?a101?i（i?1,2,99x99?1。
,50）．
记xk?kak?1（k?1,2,a1?a2??ak2,99），证明：x1x2★证明：注意到a1,a2,,a100?0．对k?1,2,k,99，由平均值不等式知
?k 0???a1?a2?2从而有x1x2?1?， ……………10 分 ??ak?a1a2akk99k?x99??ak?1?k?1?a1?a2?99k99?ak?1． ① ………………20 ????ak?k?1a1a2akk分
记①的右端为T ，则对任意i?1,2,分母中的次数为100?i．从而
?a101?i?2?101?i??101T??ai2i?101??ai2i?101a101?????ii?1i?1i?1?ai?1005050101?2i在T 的,100，ai在T的分子中的次数为i?1，
。……30 分
99x99?T?1…………40
又0?a101?i?ai（i?1,2,分
2,50） ，故T?1，结合①得x1x22024B一、（本题满分40分）设a,b是实数，函数f(x)?ax?b?使得f(x0)?2。
★证明:用反证法.假设对任意的x??1,9?，均有f(x)?2，则
9。证明：存在x0??1,9?，xf(1)?2，f(3)?2，f(9)?2
即a?b?9?2，3a?b?3?2，9a?b?1?2 注意到f(3)?4f(2)?3f(1)?16
又f(3)?4f(2)?3f(1)?16?f(1)?4f(3)?3f(9)?16矛盾！ 所以原命题得证。
2017A 9、（本题满分16分）
2设k,m为实数，不等式x?kx?m?1对所有x??a,b?成立，证明：b?a?22。
★证明：记 f(x)?x?kx?m，x??a,b?，则f(x)???1,1?。于是
2f(a)?a2?ka?m?1①； f(b)?b2?kb?m?1②
- 1 -
a?ba?b2a?b)?()?k()?m??1③ 2222?a?b?a?b?f(a)?f(b)?2f()?4， ①+②-2?③知
22即b?a?22。 f(
2017A 10、（本题满分20分）设x1,x2,x3是非负实数，满足x1?x2?x3?1，求
x?x1?3x2?5x3???x1?2?★解析：由柯西不等式
x3???的最小值和最大值。 35?2x3?x2x3??x2????1 ?x1?3x2?5x3??x1?????x1?x1?3x2??5x3?35??35???当x1?1，x2?0，x3?0时取等号，故所求的最小值为1；
又?x1?3x2?5x3??x1???x2x3?15x??????x1?3x2?5x3??5x1?2?x3? 35?53??225x14x211?1?????????x1?3x2?5x3???5x1?2?x3???6x??6x13? ?54?320?3????1191?18x29?x?0，当，，时取等号，故所求的最小值为； x?x??6x??6x?21313??22520?35?
2017B 9、（本题满分16分）
设为实数，不等式2x?a?5?2x对所有x??1,2?成立，求实数a的取值范围。
★解析：设t?2，则t?[2,4]，于是|t?a|?|5?t|对所有t?[2,4]成立，由于
x2|t?a|?|5?t|?(t?a)2?(5?t)2，?(2t?a?5)(5?a)?0，
对给定实数a，设f(t)?(2t?a?5)(5?a)，则f(t)是关于t的一次函数或常值函数，注意
?f(2)?(?1?a)(5?a)?0，解得3?a?5 t?[2,4]，因此f(t)?0等价于?f(4)?(3?a)(5?a)?0?所以实数a的取值范围是3?a?5.
2017B一、（本题满分40分）设实数a,b,c满足a?b?c?0，令d?maxa,b,c，证明：
??(1?a)(1?b)(1?c)?1?d2
★证明：当d?1时，不等式显然成立
以下设0?d?1，不妨设a,b不异号，即ab?0，那么有 (1?a)(1?b)?1?a?b?ab?1?a?b?1?c?1?d?0
因此(1?a)(1?b)(1?c)?(1?c)(1?c)?1?c?1?c?1?d
32016A1、设实数a满足a?9a?11a?a，则实数a的取值范围为 ◆答案：a?(?2222310,?) 33 - 2 -
9a3?11a|a|???1 ★解析：由a?|a|可得a?0，原不等式可变形为1?aa231010422,?)． 即?1?9a?11?1，所以a?(,)．又a?0，故a?(?3393
22016A一、（本题满分40分）设实数a1,a2,a3,?,a2016满足9ai?11ai?1（i?1,2,?,2015）.
2222求(a1?a2)(a2?a3)?(a2015?a2016)(a2016?a1)的最大值。 2222★解析：令P?(a1?a2)(a2?a3)?(a2015?a2016)(a2016?a1)
由已知得，对i?1,2,?,2015，均有ai?ai?1?2若a2016?a1?0，则P?0；下面考虑a20162112ai?1?ai2?1?0。 9?a12?0的情况.不妨记a2017?a1，由平均不等
式得
P1201620162016120161?20161?20161?2016?22?2????a?a?a?a?a?a?a1?a??????ii?12016??????ii?1iiii?2016i?120162016i?1i?1i?1??i?1??i?1???12016?ai?(1?ai)?111，当且仅当???2016?????2016i?1?2201644?112又9ai?11ai?1（i?1,2,?,2015），此时P?2016,a1?a2?a3???a2016?时取等号。
241即所求最大值为2016。
4
2016B 2、设A??a|?1?a?2?，则平面点集B??(x,y)|x,y?A,x?y?0?的面积为 ◆答案：7
★解析：点集B如图中阴影部分所示，其面积为
1S正方形MNPQ?SMRS?3?3??2?2?7.
2
2015A6、在平面直角坐标系xOy中，点集
2K??(x,y)|(x?3y?6)(3x?y?6)?0?所对应的平面
区域（如图所示）的面积为 ◆答案：24
★解析：设K1?{(x,y)||x|?|3y|?6?0}．
先考虑K1在第一象限中的部分，此时有x?3y?6,故这些点对应于图中的△OCD及其内部．由对称性知，K1对应的区域是图中以原点O 为中心的菱形ABCD及其内部．
同理，设K2?{(x,y)||3x|?|y|?6?0}，则K2对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部．
由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被K1、K2中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S．
由于直线CD的方程为x?3y?6，直线GH的方程为
- 3 -
3313故它们的交点P的坐标为(,)．由对称性知，S?8S?CPG?8??4??24． 3x?y?6，
2222
2015A一、（本题满分40分）设实数a1,a2,a3,?,an（n?2）是实数.证明：可以选取
?n??n??n2??1,?2,?,?n???1,1?使得??ai?????iai???n?1???ai?。
?i?1??i?1??i?1? ★证明：
]?[n?nnn222?? 证法一：我们证明：(?ai)??ai??aj?(n?1)(?ai)，① ?i?1?ni?1i?1??j?[]2??nn即对i?1,2,,[]，取?i?1，对i?[]?1,,n，取?i??1符合要求．（这里，[x]表
22示实数x的整数部分．） 10分
222事实上，①的左边为
???????n?nn?a?aj????ai??aj??2??ai??2??aj? ??i?i?1??i?1??i?1??n?nn?j?[]?1???????j?[]?1j?[]?122?2???????]?[n????n??22???n???n?（柯西不等式）30分 ?2???ai?2?n?????a2j???2???2????j?[n]?1??i?1???2???]?[n??n?2n??n?1?n?n?1???????2?n???（利用） ?2????ai2??2??a?j?????????2??2???2??i?1???2???j?[n]?1??2???]?[n??n?2?（利用[x]?x） ?n??ai2??(n?1)??a2j??i?1??n?j?[]?1????2????(n?1)(?ai2)．
i?1nn[]22n[]22n[]222所以 ① 得证，从而本题得证． 证法二：首先，由于问题中a1,a2,,an的对称性，可设a1?a2?n2i?1?an．此外，若将
ni?1a1,a2,2,an中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的(?ai)不减，而右边的?ai不
变，并且这一手续不影响?i??1的选取，因此我们可进一步设
a1?a2??an?0． 10分
?an?0，则0??(?1)i?1ai?a1．
i?1n引理：设a1?a2?事实上，由于ai?ai?1(i?1,2,,n?1)，故当n是偶数时，
?(?1)i?1ni?1ai?(a1?a2)?(a3?a4)??(an?1?an)?0，
- 4 -
?(?1)i?1nni?1ai?a1?(a2?a3)??(an?2?an?1)?an?a1．
当n是奇数时，
?(?1)i?1ni?1ai?(a1?a2)?(a3?a4)?ai?a1?(a2?a3)??(an?2?an?1)?an?0，
?(?1)i?1i?1?(an?1?an)?a1．
引理得证． 30 分
回到原题，由柯西不等式及上面引理可知
n?n??n??n2?2i?12??ai????(?1)ai??n??ai??a1?(n?1)?ai，
i?1?i?1??i?1??i?1?22这就证明了结论． 40分
证法三：加强命题：设a1,a2,???,an（n?2）是实数，证明：可以选取?1,?2,???,?n?{?1,1}，
1n2使得 (?ai)?(??iai)?(n?)(?ai).
ni?1i?1i?1222证明 不妨设a1?a2?????an，以下分n为奇数和n为偶数两种情况证明.
22nn当n为奇数时，取?1??2??????n?1?1，?n?1??n?3??????n??1，于是有
222(?ai)?[(?ai)?(2i?1i?1nn?12?a)]j?n?12jn2?2[(?ai)+(2i?1n?12?a)]
2j?n?12jnn?1n?1n22 ?2?(?ai)+2?(n?)(?aj)（应用柯西不等式）.
2i?12j?n?12n?12?(n?1)(?a)+(n?1)(2ii?1n?12?a) ①
j?n?122j2n，易证有
n另外，由于a?a?????a212211n22(1?)?ai?(1?)?aj，
ni?1nj?n?12n?121n2因此，由式①即得到(n?1)(?a)+(n?1)(?a)?(n?)(?ai)，
ni?1n?1i?1j?2in2j2n?12故n为奇数时，原命题成立，而且由证明过程可知，当且仅当?1??2??????n?1?1，
2?n?1??n?3??????n??1，且a1?a2?????an时取等号.
22当n为偶数时，取?1??2??????n?1，?n?2??n?4??????n??1，于是有
222(?ai)?[(?ai)?(2i?1i?1nn2?j?nn?22aj)]?2[(?ai)+(22i?1n2?j?nn?22aj)2]2
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1981年~2024年全国高中数学联赛试题分类汇编---不等式与线性规划(含答案)
