1.(2019·江淮十校联考)抛物线y=8x2的焦点坐标是( ) 11
0,? B.?0,? C.(0,2) D.(0,4) A.??32??16?答案 A
1解析 ∵抛物线的标准方程为x2=y,
810,?. ∴焦点坐标为??32?
2.(2019·包头青山区模拟)已知点P(2,y)在抛物线y2=4x上,则点P到抛物线焦点F的距离为( )
A.2 B.3 C.3 D.2 答案 B
解析 因为抛物线y2=4x的焦点为(1,0),准线为x=-1,结合定义点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离,为3.
→
3.设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则|FA|→→
+|FB|+|FC|的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C
解析 依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 1?13,0,所以x1+x2+x3=3×=, 又焦点F??2?22
111333→→→
x1+?+?x2+?+?x3+?=(x1+x2+x3)+=+=3. 则|FA|+|FB|+|FC|=?2??2??2??222
4.(2020·惠州调研)已知F是抛物线C:y=2x2的焦点,N是x轴上一点,线段FN与抛物线C→→→
相交于点M,若2FM=MN,则|FN|等于( ) 513
A. B. C. D.1 828答案 A
1
0,?, 解析 由题意得点F的坐标为??8?
设点M的坐标为(x0,y0),点N的坐标为(a,0), 1→→
x0,y0-?,MN=(a-x0,-y0), 所以FM=?8??2x0=a-x0,??→→
由2FM=MN可得,? 1
??2y0-4=-y0,11
解得y0=,x0=a,
123
66
代入抛物线方程可得x0=±,则a=±,
1246
所以点N的坐标为?±,0?,
?4?5
由两点之间的距离公式可得|FN|=. 8
5.抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为
3
的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于3
点A,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为H,则△AHF的面积是( ) A.4 B.33 C.43 D.8 答案 C
解析 由抛物线的定义可得AF=AH, ∵AF的斜率为
3
,∴AF的倾斜角为30°, 3
∵AH垂直于准线,∴∠FAH=60°,
m
m,?,m>0, 故△AHF为等边三角形.设A?4??过F作FM⊥AH于M,则在Rt△FAM中, 1m21?m2?
AM=AF,∴-1=?4+1?,
242
解得m=23,故等边三角形AHF的边长AH=4, 1
∴△AHF的面积是×4×4sin 60°=43.故选C.
2
6.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 D
2
解析 ∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切, ∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. ∵圆的面积为36π,∴圆的半径为6. p
又∵圆心在OF的垂直平分线上,OF=,
2pp
∴+=6,∴p=8.故选D. 24
7.(多选)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为3且经过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若AF=4,则以下结论正确的是( ) A.p=2
B.F为AD中点
D.BF=2
C.BD=2BF 答案 ABC 解析 如图.
p?F??2,0?,直线l的斜率为3, p
x-?, 则直线方程为y=3??2?y2=2px,??
联立? p????y=3?x-2?,得12x2-20px+3p2=0. 31解得xA=p,xB=p,
26
3p
由AF=p+=2p=4,得p=2.
22∴抛物线方程为y2=4x. 11xB=p=,
6314
则BF=+1=;
33
438BF
BD===,
cos 60°13
2∴BD=2BF,
48
BD+BF=+=4,则F为AD中点.
33故选ABC.
8.(多选)抛物线E:x2=4y与圆M:x2+(y-1)2=16交于A,B两点,圆心M(0,1),点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线于点N,则△PMN的周长的可能取值是( )
A.8 B.8.5 C.9 D.10 答案 BC
解析 如图,可得圆心M(0,1)也是抛物线的焦点,
过P作准线的垂线,垂足为H,根据抛物线的定义, 可得MN=NH,
故△PMN的周长l=NH+NP+MP =PH+4,
2??x=4y,由?得B(23,3).
22
?x+?y-1?=16,?
PH的取值范围为(4,6),
∴△PMN的周长PH+4的取值范围为(8,10), 故B,C满足条件.
9.(2019·江淮十校联考)已知直线l是抛物线y2=2px(p>0)的准线,半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切,则抛物线的方程为________. 答案 y2=8x
解析 ∵半径为3的圆与抛物线的准线l相切, ∴圆心到准线的距离等于3,
p
又∵圆心在OF的垂直平分线上,OF=,
2pp
∴+=3,∴p=4,故抛物线的方程为y2=8x. 24
10.(2020·山东模拟)直线l过抛物线C:y2=2px (p > 0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,11
则p=________,+=________.
AFBF答案 2 1
p
解析 由题意知=1,从而p=2,
2所以抛物线方程为y2=4x.
当直线AB的斜率不存在时,将x=1代入抛物线方程,解得AF=BF=2, 11
从而+=1.
AFBF
当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=k(x-1),
??y=k?x-1?,联立?
2??y=4x,
整理,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),
?x+x=2kk+4,则?
?xx=1,
2
1
2
2
12
x1+x2+2x1+x2+21111
从而+=+===1.
AFBFx1+1x2+1x1+x2+x1x2+1x1+x2+211
综上,+=1.
AFBF
11.一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸(单位:m)如图,一辆卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3 m,车与箱共高4.5 m,此车能否通过隧道?说明理由.
2021新高考数学(江苏专用)一轮复习课时精练:8.8 抛物线
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