圆的定义与方程
定义 标准 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心(a，b) 半径为r 充要条件：D2＋E2－4F>0 方程 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 DE圆心坐标：(－，－) 221半径r＝D2＋E2－4F 2 【知识拓展】
1．确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程． 2．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种．
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0) (1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2； (3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ ) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √ ) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ ) (4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( × ) 2 (5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y0＋Dx0＋Ey0＋F＞0.( √ ) 1．(教材改编)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( ) A．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 答案 C 解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C满足． 2．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 答案 B 解析 根据题意，画出示意图，如图所示， B．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0 则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m. 因为∠APB＝90°，连接OP， 1 易知|OP|＝|AB|＝m. 2要求m的最大值， 即求圆C上的点P到原点O的最大距离． 因为|OC|＝ 32＋42＝5， 所以|OP|max＝|OC|＋r＝6， 即m的最大值为6. 3．(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 答案 D 解析 圆的半径r＝ 12＋12＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 4．(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________． 答案 (x－2)2＋y2＝10 解析 设圆心坐标为C(a,0)， ∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上， ∴|CA|＝|CB|， 即 ?a＋1?2＋1＝?a－1?2＋9， 解得a＝2， ∴圆心为C(2,0)， 半径|CA|＝?2＋1?2＋1＝10， ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 5．(2016·浙江)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 答案 (－2，－4) 5 解析 由已知方程表示圆，则a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1. 当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 题型一 求圆的方程 例1 (1)(2016·天津)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到45 直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________． 5 x2y2 (2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则 164该圆的标准方程为________． 325x－?2＋y2＝ 答案 (1)(x－2)2＋y2＝9 (2)??2?4 解析 (1)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0， 所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝ 2a45 ＝， 55 4＋5＝3， 解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9. (2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为 y＋1＝－2(x－2)， 3?35 ，0，半径为. 令y＝0，解得x＝，圆心为??2?22 思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值． (2016·湖北八校联考)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两 段弧，弧长之比为1∶2，则圆C的标准方程为________________． 答案 x2＋(y± 324 )＝ 33 解析 ∵圆C关于y轴对称，∴可设C(0，b)， 设圆C的半径为r，则圆C的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2， 222??r2＝3，?1＋?－b?＝r， 依题意，得?解得?13?b＝±?|b|＝2r，?3， 4 于是圆C的标准方程为x2＋(y±题型二 与圆有关的最值问题 324 )＝. 33 例2 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．求x＋y的最大值和最小值． 解 设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距， ∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距． 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即 |2＋?－3?－t| ＝1， 2解得t＝2－1或t＝－2－1. ∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究 y 1．在本例的条件下，求的最大值和最小值． x yy解 可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的 xx直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率． 设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即 |2k＋3|k2＋1 ＝2323y23231，解得k＝－2＋或k＝－2－.∴的最大值为－2＋，最小值为－2－. 33x332．在本例的条件下，求解 x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值． ?x＋1?2＋?y－2?2，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1, 2) x2＋y2＋2x－4y＋5＝ 的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－
【步步高】高考数学(理)(人教)大一轮复习文档讲义：第九章圆的方程
