专业：___机械工程____姓名：___林炜奕_______学号：_3130102509____日期：________________地点：_______桌号 课程名称：___计算方法____________指导老师：___程晓良________成绩：__________________
实验名称：___观察龙格现象________________实验类型：________________同组学生姓名：__________一、实验目的和要求（必填）二、实验内容和原理（必填）三、主要仪器设备（必填）四、操作方法和实验步骤五、实验数据记录和处理六、实验结果与分析（必填）七、讨论、心得
实验报告
一、问题描述
在计算方法中，有利用多项式对某一函数的近似逼近，这样，利用多项式就可以计算相应的函数值。例如，在事先不知道某一函数的具体形式的情况下，只能测量得知某一些分散的函数值。例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f（x）。应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越准确。
例外发生了：龙格在研究多项式插值的时候，发现有的情况下，并非取节点（日期数）越多多项式就越精确。著名的例子是f（x）=1/(1+25x^2).它的插值函数在两个端点处发生剧烈的波动，造成较大的误差。
二、相关公式
三、MATLAB程序
一、取等距节点，n=5,10,15,20for n = 5:5:20subplot(2,2,n/5)syms x;
f = 1/(1+25*x^2);x1=sym(zeros(n+1));W=sym(ones(n+1));L=sym(0); for i=0:n x1(i+1)=-1+2*i/n; end
for i=0:n for j=0:n if j~=i w=(x-x1(j+1))/(x1(i+1)-x1(j+1)); W(i+1)=W(i+1)*w; end end L=L+W(i+1)*(1/(1+25*x1(i+1)^2)); end
LL(n)=simplify(L);x=-1:0.01:1;y1=subs(f,x);y2=subs(L,x);
plot(x,y1,'b');hold on;plot(x,y2,'r');hold off;
title(['?-oˉêyf(x)=1/(1+25*x^2)ó?',num2str(n),'′?2??μoˉêy']);xlabel('x');ylabel('y');
legend('?-oˉêy','2??μoˉêy');grid onend
二、取节点Xj=cosjπ/n,j=0,1,…,n.n分别取5,10,15,20,…,50for n = 5:5:50subplot(2,5,n/5)syms x;
f = 1/(1+25*x^2);x1=sym(zeros(n+1));W=sym(ones(n+1));L=sym(0); for i=0:n x1(i+1)=cos(i*pi/n); end
for i=0:n for j=0:n if j~=i w=(x-x1(j+1))/(x1(i+1)-x1(j+1)); W(i+1)=W(i+1)*w; end end L=L+W(i+1)*(1/(1+25*x1(i+1)^2)); end
LL(n)=simplify(L);x=-1:0.01:1;y1=subs(f,x);
装 订 线y2=subs(L,x);
plot(x,y1,'b');hold on;plot(x,y2,'r');hold off;
title(['?-oˉêyf(x)=1/(1+25*x^2)ó?',num2str(n),'′?2??μoˉêy']);xlabel('x');ylabel('y');legend('?-oˉêy','2??μoˉêy');grid onend
四、实验分析
????
当采用等距节点时，随着节点数量的增多，插值函数的误差越大。当以x=cos??为节点
时，随着n的增大，插值函数的图像越来越靠近原函数图像。这是由于采用等距节点时，存在较大的舍入误差。后者由于此处的插值节点不是等距分布的（事实上，此处采用的插值节点正是Chebyshev多项式的零点），而是中间疏两边密，因此两侧较密的节点很好地抑制了Runge现象。
五、心得与体会
通过这次实验，我更加熟悉了MATLAB的使用，同时对课本上关于多项式插值以及龙格现
象的理论知识有了更深入的理解。有助于对后续课程的学习。收获很大。
龙格现象matlab算法
